Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82506 / 19030
↖ ↑ ↗
← N 77.717435°
E 46.609497°		 ← 64.96 m → N 77.717435°
E 46.612243°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.716850°
E 46.609497°		 ← 64.96 m →
4 222 m²		 N 77.716850°
E 46.612243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629474639892578 y=0.145191192626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629474639892578 × 217)
    floor (0.629474639892578 × 131072)
    floor (82506.5)     		tx = 82506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145191192626953 × 217)
    floor (0.145191192626953 × 131072)
    floor (19030.5)     		ty = 19030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82506 / 19030 ti = "17/82506/19030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82506/19030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82506 ÷ 217
    82506 ÷ 131072     		x = 0.629470825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19030 ÷ 217
    19030 ÷ 131072     		y = 0.145187377929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629470825195312 × 2 - 1) × π
    0.258941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81348919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145187377929688 × 2 - 1) × π
    0.709625244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22935345373033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81348919} λ = 0.81348919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22935345373033))-π/2
    2×atan(9.29385522911731)-π/2
    2×1.46361072355796-π/2
    2.92722144711592-1.57079632675     		φ = 1.35642512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81348919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.609497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35642512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.717435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82506 KachelY 19030 0.81348919 1.35642512 46.609497 77.717435
    Oben rechts KachelX + 1 82507 KachelY 19030 0.81353712 1.35642512 46.612243 77.717435
    Unten links KachelX 82506 KachelY + 1 19031 0.81348919 1.35641492 46.609497 77.716850
    Unten rechts KachelX + 1 82507 KachelY + 1 19031 0.81353712 1.35641492 46.612243 77.716850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35642512-1.35641492) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35642512-1.35641492) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81348919-0.81353712) × cos(1.35642512) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212733070046293 × 6371000     		do = 64.960602117508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81348919-0.81353712) × cos(1.35641492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212743036560822 × 6371000     		du = 64.9636455126165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35642512)-sin(1.35641492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212733070046293-0.212743036560822)×R²
    abs(0.81353712-0.81348919)×9.96651452864206e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.96651452864206e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.96651452864206e-06×40589641000000     		ar = 4221.51164626236m²