Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82505 / 14671
↖ ↑ ↗
← N 80.020518°
E 46.606751°		 ← 52.93 m → N 80.020518°
E 46.609497°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.020042°
E 46.606751°		 ← 52.93 m →
2 802 m²		 N 80.020042°
E 46.609497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629467010498047 y=0.111934661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629467010498047 × 217)
    floor (0.629467010498047 × 131072)
    floor (82505.5)     		tx = 82505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111934661865234 × 217)
    floor (0.111934661865234 × 131072)
    floor (14671.5)     		ty = 14671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82505 / 14671 ti = "17/82505/14671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82505/14671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82505 ÷ 217
    82505 ÷ 131072     		x = 0.629463195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14671 ÷ 217
    14671 ÷ 131072     		y = 0.111930847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629463195800781 × 2 - 1) × π
    0.258926391601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81344125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111930847167969 × 2 - 1) × π
    0.776138305664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.43831039917416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81344125} λ = 0.81344125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43831039917416))-π/2
    2×atan(11.4536722507986)-π/2
    2×1.4837089170374-π/2
    2.9674178340748-1.57079632675     		φ = 1.39662151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81344125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.606751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39662151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.020518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82505 KachelY 14671 0.81344125 1.39662151 46.606751 80.020518
    Oben rechts KachelX + 1 82506 KachelY 14671 0.81348919 1.39662151 46.609497 80.020518
    Unten links KachelX 82505 KachelY + 1 14672 0.81344125 1.39661320 46.606751 80.020042
    Unten rechts KachelX + 1 82506 KachelY + 1 14672 0.81348919 1.39661320 46.609497 80.020042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39662151-1.39661320) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39662151-1.39661320) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81344125-0.81348919) × cos(1.39662151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1732954986068 × 6371000     		do = 52.928905900616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81344125-0.81348919) × cos(1.39661320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173303682869475 × 6371000     		du = 52.9314055851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39662151)-sin(1.39661320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1732954986068-0.173303682869475)×R²
    abs(0.81348919-0.81344125)×8.1842626752926e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.1842626752926e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.1842626752926e-06×40589641000000     		ar = 2802.28176476194m²