Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82504 / 14649
↖ ↑ ↗
← N 80.030984°
E 46.604004°		 ← 52.87 m → N 80.030984°
E 46.606751°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.030508°
E 46.604004°		 ← 52.88 m →
2 796 m²		 N 80.030508°
E 46.606751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629459381103516 y=0.111766815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629459381103516 × 217)
    floor (0.629459381103516 × 131072)
    floor (82504.5)     		tx = 82504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111766815185547 × 217)
    floor (0.111766815185547 × 131072)
    floor (14649.5)     		ty = 14649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82504 / 14649 ti = "17/82504/14649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82504/14649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82504 ÷ 217
    82504 ÷ 131072     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14649 ÷ 217
    14649 ÷ 131072     		y = 0.111763000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111763000488281 × 2 - 1) × π
    0.776473999023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4393650109658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4393650109658))-π/2
    2×atan(11.4657578002732)-π/2
    2×1.48380024933684-π/2
    2.96760049867368-1.57079632675     		φ = 1.39680417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39680417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.030984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82504 KachelY 14649 0.81339331 1.39680417 46.604004 80.030984
    Oben rechts KachelX + 1 82505 KachelY 14649 0.81344125 1.39680417 46.606751 80.030984
    Unten links KachelX 82504 KachelY + 1 14650 0.81339331 1.39679587 46.604004 80.030508
    Unten rechts KachelX + 1 82505 KachelY + 1 14650 0.81344125 1.39679587 46.606751 80.030508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39680417-1.39679587) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39680417-1.39679587) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81344125) × cos(1.39680417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173115599385506 × 6371000     		do = 52.8739600478272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81344125) × cos(1.39679587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173123774062097 × 6371000     		du = 52.876456804474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39680417)-sin(1.39679587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173115599385506-0.173123774062097)×R²
    abs(0.81344125-0.81339331)×8.17467659033899e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.17467659033899e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.17467659033899e-06×40589641000000     		ar = 2796.00400895296m²