Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82504 / 14632
↖ ↑ ↗
← N 80.039064°
E 46.604004°		 ← 52.83 m → N 80.039064°
E 46.606751°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.038589°
E 46.604004°		 ← 52.83 m →
2 790 m²		 N 80.038589°
E 46.606751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629459381103516 y=0.111637115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629459381103516 × 217)
    floor (0.629459381103516 × 131072)
    floor (82504.5)     		tx = 82504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111637115478516 × 217)
    floor (0.111637115478516 × 131072)
    floor (14632.5)     		ty = 14632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82504 / 14632 ti = "17/82504/14632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82504/14632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82504 ÷ 217
    82504 ÷ 131072     		x = 0.62945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14632 ÷ 217
    14632 ÷ 131072     		y = 0.11163330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81339331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11163330078125 × 2 - 1) × π
    0.7767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44017993825934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81339331} λ = 0.81339331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44017993825934))-π/2
    2×atan(11.4751053675223)-π/2
    2×1.48387075934902-π/2
    2.96774151869804-1.57079632675     		φ = 1.39694519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81339331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39694519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.039064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82504 KachelY 14632 0.81339331 1.39694519 46.604004 80.039064
    Oben rechts KachelX + 1 82505 KachelY 14632 0.81344125 1.39694519 46.606751 80.039064
    Unten links KachelX 82504 KachelY + 1 14633 0.81339331 1.39693690 46.604004 80.038589
    Unten rechts KachelX + 1 82505 KachelY + 1 14633 0.81344125 1.39693690 46.606751 80.038589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39694519-1.39693690) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39694519-1.39693690) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81339331-0.81344125) × cos(1.39694519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172976706853336 × 6371000     		do = 52.8315386934084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81339331-0.81344125) × cos(1.39693690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172984871883231 × 6371000     		du = 52.8340325037062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39694519)-sin(1.39693690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172976706853336-0.172984871883231)×R²
    abs(0.81344125-0.81339331)×8.16502989500756e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.16502989500756e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.16502989500756e-06×40589641000000     		ar = 2790.39474285791m²