Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82503 / 19034
↖ ↑ ↗
← N 77.715098°
E 46.601258°		 ← 64.97 m → N 77.715098°
E 46.604004°		 →
↑
64.98 m
↓
↑
64.98 m
↓
N 77.714513°
E 46.601258°		 ← 64.98 m →
4 222 m²		 N 77.714513°
E 46.604004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629451751708984 y=0.145221710205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629451751708984 × 217)
    floor (0.629451751708984 × 131072)
    floor (82503.5)     		tx = 82503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145221710205078 × 217)
    floor (0.145221710205078 × 131072)
    floor (19034.5)     		ty = 19034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82503 / 19034 ti = "17/82503/19034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82503/19034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82503 ÷ 217
    82503 ÷ 131072     		x = 0.629447937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19034 ÷ 217
    19034 ÷ 131072     		y = 0.145217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629447937011719 × 2 - 1) × π
    0.258895874023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81334538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145217895507812 × 2 - 1) × π
    0.709564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22916170613185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81334538} λ = 0.81334538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22916170613185))-π/2
    2×atan(9.29207332553983)-π/2
    2×1.46359032611959-π/2
    2.92718065223918-1.57079632675     		φ = 1.35638433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81334538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.601258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35638433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.715098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82503 KachelY 19034 0.81334538 1.35638433 46.601258 77.715098
    Oben rechts KachelX + 1 82504 KachelY 19034 0.81339331 1.35638433 46.604004 77.715098
    Unten links KachelX 82503 KachelY + 1 19035 0.81334538 1.35637413 46.601258 77.714513
    Unten rechts KachelX + 1 82504 KachelY + 1 19035 0.81339331 1.35637413 46.604004 77.714513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35638433-1.35637413) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dl = 64.9841999997467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35638433-1.35637413) × R
    1.01999999999602e-05 × 6371000     		dr = 64.9841999997467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81334538-0.81339331) × cos(1.35638433) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212772926200584 × 6371000     		do = 64.9727726736903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81334538-0.81339331) × cos(1.35637413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212782892626593 × 6371000     		du = 64.9758160417682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35638433)-sin(1.35637413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212772926200584-0.212782892626593)×R²
    abs(0.81339331-0.81334538)×9.96642600897824e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.96642600897824e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.96642600897824e-06×40589641000000     		ar = 4222.30253953691m²