Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82501 / 20223
↖ ↑ ↗
← N 77.000553°
E 46.595764°		 ← 68.70 m → N 77.000553°
E 46.598511°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 76.999935°
E 46.595764°		 ← 68.71 m →
4 719 m²		 N 76.999935°
E 46.598511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629436492919922 y=0.154293060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629436492919922 × 217)
    floor (0.629436492919922 × 131072)
    floor (82501.5)     		tx = 82501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154293060302734 × 217)
    floor (0.154293060302734 × 131072)
    floor (20223.5)     		ty = 20223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82501 / 20223 ti = "17/82501/20223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82501/20223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82501 ÷ 217
    82501 ÷ 131072     		x = 0.629432678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20223 ÷ 217
    20223 ÷ 131072     		y = 0.154289245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629432678222656 × 2 - 1) × π
    0.258865356445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81324950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154289245605469 × 2 - 1) × π
    0.691421508789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.1721647324836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81324950} λ = 0.81324950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1721647324836))-π/2
    2×atan(8.77726391847164)-π/2
    2×1.45735475083562-π/2
    2.91470950167123-1.57079632675     		φ = 1.34391317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81324950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.595764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34391317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.000553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82501 KachelY 20223 0.81324950 1.34391317 46.595764 77.000553
    Oben rechts KachelX + 1 82502 KachelY 20223 0.81329744 1.34391317 46.598511 77.000553
    Unten links KachelX 82501 KachelY + 1 20224 0.81324950 1.34390239 46.595764 76.999935
    Unten rechts KachelX + 1 82502 KachelY + 1 20224 0.81329744 1.34390239 46.598511 76.999935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34391317-1.34390239) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34391317-1.34390239) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81324950-0.81329744) × cos(1.34391317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224941655594475 × 6371000     		do = 68.7029716168819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81324950-0.81329744) × cos(1.34390239) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224952159314094 × 6371000     		du = 68.7061797232192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34391317)-sin(1.34390239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224941655594475-0.224952159314094)×R²
    abs(0.81329744-0.81324950)×1.0503719618804e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0503719618804e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0503719618804e-05×40589641000000     		ar = 4718.58766035833m²