Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82500 / 19036
↖ ↑ ↗
← N 77.713929°
E 46.593018°		 ← 64.98 m → N 77.713929°
E 46.595764°		 →
↑
65.05 m
↓
↑
65.05 m
↓
N 77.713344°
E 46.593018°		 ← 64.98 m →
4 227 m²		 N 77.713344°
E 46.595764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629428863525391 y=0.145236968994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629428863525391 × 217)
    floor (0.629428863525391 × 131072)
    floor (82500.5)     		tx = 82500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145236968994141 × 217)
    floor (0.145236968994141 × 131072)
    floor (19036.5)     		ty = 19036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82500 / 19036 ti = "17/82500/19036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82500/19036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82500 ÷ 217
    82500 ÷ 131072     		x = 0.629425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19036 ÷ 217
    19036 ÷ 131072     		y = 0.145233154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145233154296875 × 2 - 1) × π
    0.70953369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22906583233261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81320157} λ = 0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22906583233261))-π/2
    2×atan(9.2911825018713)-π/2
    2×1.46358012596721-π/2
    2.92716025193442-1.57079632675     		φ = 1.35636393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35636393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.713929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82500 KachelY 19036 0.81320157 1.35636393 46.593018 77.713929
    Oben rechts KachelX + 1 82501 KachelY 19036 0.81324950 1.35636393 46.595764 77.713929
    Unten links KachelX 82500 KachelY + 1 19037 0.81320157 1.35635372 46.593018 77.713344
    Unten rechts KachelX + 1 82501 KachelY + 1 19037 0.81324950 1.35635372 46.595764 77.713344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35636393-1.35635372) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dl = 65.0479100007742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35636393-1.35635372) × R
    1.02100000001215e-05 × 6371000     		dr = 65.0479100007742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81320157-0.81324950) × cos(1.35636393) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212792859030464 × 6371000     		do = 64.9788594029356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81320157-0.81324950) × cos(1.35635372) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212802835183148 × 6371000     		du = 64.9819057411707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35636393)-sin(1.35635372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212792859030464-0.212802835183148)×R²
    abs(0.81324950-0.81320157)×9.97615268386043e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.97615268386043e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.97615268386043e-06×40589641000000     		ar = 4226.83807735957m²