Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82500 / 19004
↖ ↑ ↗
← N 77.732617°
E 46.593018°		 ← 64.88 m → N 77.732617°
E 46.595764°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.732034°
E 46.593018°		 ← 64.88 m →
4 208 m²		 N 77.732034°
E 46.595764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629428863525391 y=0.144992828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629428863525391 × 217)
    floor (0.629428863525391 × 131072)
    floor (82500.5)     		tx = 82500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144992828369141 × 217)
    floor (0.144992828369141 × 131072)
    floor (19004.5)     		ty = 19004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82500 / 19004 ti = "17/82500/19004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82500/19004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82500 ÷ 217
    82500 ÷ 131072     		x = 0.629425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19004 ÷ 217
    19004 ÷ 131072     		y = 0.144989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629425048828125 × 2 - 1) × π
    0.25885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81320157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144989013671875 × 2 - 1) × π
    0.71002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23059981312045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81320157} λ = 0.81320157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23059981312045))-π/2
    2×atan(9.30544593444433)-π/2
    2×1.46374321379422-π/2
    2.92748642758845-1.57079632675     		φ = 1.35669010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81320157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.593018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35669010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.732617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82500 KachelY 19004 0.81320157 1.35669010 46.593018 77.732617
    Oben rechts KachelX + 1 82501 KachelY 19004 0.81324950 1.35669010 46.595764 77.732617
    Unten links KachelX 82500 KachelY + 1 19005 0.81320157 1.35667992 46.593018 77.732034
    Unten rechts KachelX + 1 82501 KachelY + 1 19005 0.81324950 1.35667992 46.595764 77.732034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35669010-1.35667992) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35669010-1.35667992) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81320157-0.81324950) × cos(1.35669010) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212474147879662 × 6371000     		do = 64.8815371189433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81320157-0.81324950) × cos(1.35667992) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212484095425538 × 6371000     		du = 64.8845747217455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35669010)-sin(1.35667992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212474147879662-0.212484095425538)×R²
    abs(0.81324950-0.81320157)×9.94754587596569e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.94754587596569e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.94754587596569e-06×40589641000000     		ar = 4208.1060836639m²