Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 825 / 410
↖ ↑ ↗
← N 33.724340°
E110.039063°		 ← 32.513 km → N 33.724340°
E110.390625°		 →
↑
32.569 km
↓
↑
32.569 km
↓
N 33.431442°
E110.039063°		 ← 32.624 km →
1 060.73 km²		 N 33.431442°
E110.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80615234375 y=0.40087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80615234375 × 210)
    floor (0.80615234375 × 1024)
    floor (825.5)     		tx = 825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40087890625 × 210)
    floor (0.40087890625 × 1024)
    floor (410.5)     		ty = 410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 825 / 410 ti = "10/825/410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/825/410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 825 ÷ 210
    825 ÷ 1024     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 410 ÷ 210
    410 ÷ 1024     		y = 0.400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400390625 × 2 - 1) × π
    0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625864161439453))-π/2
    2×atan(1.86986112132871)-π/2
    2×1.07969854596921-π/2
    2.15939709193842-1.57079632675     		φ = 0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 825 KachelY 410 1.92054395 0.58860077 110.039063 33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 826 KachelY 410 1.92667987 0.58860077 110.390625 33.724340
    Unten links KachelX 825 KachelY + 1 411 1.92054395 0.58348873 110.039063 33.431442
    Unten rechts KachelX + 1 826 KachelY + 1 411 1.92667987 0.58348873 110.390625 33.431442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58860077-0.58348873) × R
    0.00511203999999998 × 6371000     		dl = 32568.8068399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58860077-0.58348873) × R
    0.00511203999999998 × 6371000     		dr = 32568.8068399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92667987) × cos(0.58860077) × R
    0.00613591999999996 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 32513.4887965712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92667987) × cos(0.58348873) × R
    0.00613591999999996 × 0.834545655857141 × 6371000     		du = 32624.0139803564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58860077)-sin(0.58348873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.834545655857141)×R²
    abs(1.92667987-1.92054395)×0.00282731340313547×R²
    0.00613591999999996×0.00282731340313547×6371000²
    0.00613591999999996×0.00282731340313547×40589641000000     		ar = 1060727682.98742m²