Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 825 / 183
↖ ↑ ↗
← N 81.334844°
W 34.980469°		 ← 2 944.79 m → N 81.334844°
W 34.804687°		 →
↑
2 949.26 m
↓
↑
2 949.26 m
↓
N 81.308321°
W 34.980469°		 ← 2 953.73 m →
8 698 149 m²		 N 81.308321°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403076171875 y=0.089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403076171875 × 211)
    floor (0.403076171875 × 2048)
    floor (825.5)     		tx = 825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.089599609375 × 211)
    floor (0.089599609375 × 2048)
    floor (183.5)     		ty = 183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 825 / 183 ti = "11/825/183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/825/183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 825 ÷ 211
    825 ÷ 2048     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 183 ÷ 211
    183 ÷ 2048     		y = 0.08935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08935546875 × 2 - 1) × π
    0.8212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5801556851499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5801556851499))-π/2
    2×atan(13.1991929180346)-π/2
    2×1.49517857769734-π/2
    2.99035715539468-1.57079632675     		φ = 1.41956083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41956083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.334844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 825 KachelY 183 -0.61052435 1.41956083 -34.980469 81.334844
    Oben rechts KachelX + 1 826 KachelY 183 -0.60745639 1.41956083 -34.804687 81.334844
    Unten links KachelX 825 KachelY + 1 184 -0.61052435 1.41909791 -34.980469 81.308321
    Unten rechts KachelX + 1 826 KachelY + 1 184 -0.60745639 1.41909791 -34.804687 81.308321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41956083-1.41909791) × R
    0.000462919999999922 × 6371000     		dl = 2949.2633199995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41956083-1.41909791) × R
    0.000462919999999922 × 6371000     		dr = 2949.2633199995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.60745639) × cos(1.41956083) × R
    0.00306796000000009 × 0.150659641605406 × 6371000     		do = 2944.78931111457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.60745639) × cos(1.41909791) × R
    0.00306796000000009 × 0.151117261535263 × 6371000     		du = 2953.73393798104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41956083)-sin(1.41909791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150659641605406-0.151117261535263)×R²
    abs(-0.60745639--0.61052435)×0.000457619929857489×R²
    0.00306796000000009×0.000457619929857489×6371000²
    0.00306796000000009×0.000457619929857489×40589641000000     		ar = 8698149.28570299m²