Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 825 / 181
↖ ↑ ↗
← N 81.387650°
W 34.980469°		 ← 2 926.98 m → N 81.387650°
W 34.804687°		 →
↑
2 931.42 m
↓
↑
2 931.42 m
↓
N 81.361287°
W 34.980469°		 ← 2 935.87 m →
8 593 252 m²		 N 81.361287°
W 34.804687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403076171875 y=0.088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403076171875 × 211)
    floor (0.403076171875 × 2048)
    floor (825.5)     		tx = 825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088623046875 × 211)
    floor (0.088623046875 × 2048)
    floor (181.5)     		ty = 181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 825 / 181 ti = "11/825/181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/825/181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 825 ÷ 211
    825 ÷ 2048     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 181 ÷ 211
    181 ÷ 2048     		y = 0.08837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08837890625 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58629160830127))-π/2
    2×atan(13.2804311322778)-π/2
    2×1.49563939657716-π/2
    2.99127879315432-1.57079632675     		φ = 1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 825 KachelY 181 -0.61052435 1.42048247 -34.980469 81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 826 KachelY 181 -0.60745639 1.42048247 -34.804687 81.387650
    Unten links KachelX 825 KachelY + 1 182 -0.61052435 1.42002235 -34.980469 81.361287
    Unten rechts KachelX + 1 826 KachelY + 1 182 -0.60745639 1.42002235 -34.804687 81.361287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048247-1.42002235) × R
    0.000460120000000064 × 6371000     		dl = 2931.42452000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048247-1.42002235) × R
    0.000460120000000064 × 6371000     		dr = 2931.42452000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.60745639) × cos(1.42048247) × R
    0.00306796000000009 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 2926.97933358021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.60745639) × cos(1.42002235) × R
    0.00306796000000009 × 0.150203373507267 × 6371000     		du = 2935.87110711459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048247)-sin(1.42002235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.150203373507267)×R²
    abs(-0.60745639--0.61052435)×0.000454915877638518×R²
    0.00306796000000009×0.000454915877638518×6371000²
    0.00306796000000009×0.000454915877638518×40589641000000     		ar = 8593251.92108515m²