Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82499 / 14689
↖ ↑ ↗
← N 80.011947°
E 46.590271°		 ← 52.97 m → N 80.011947°
E 46.593018°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.011471°
E 46.590271°		 ← 52.98 m →
2 805 m²		 N 80.011471°
E 46.593018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629421234130859 y=0.112071990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629421234130859 × 217)
    floor (0.629421234130859 × 131072)
    floor (82499.5)     		tx = 82499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112071990966797 × 217)
    floor (0.112071990966797 × 131072)
    floor (14689.5)     		ty = 14689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82499 / 14689 ti = "17/82499/14689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82499/14689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82499 ÷ 217
    82499 ÷ 131072     		x = 0.629417419433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14689 ÷ 217
    14689 ÷ 131072     		y = 0.112068176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629417419433594 × 2 - 1) × π
    0.258834838867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81315363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112068176269531 × 2 - 1) × π
    0.775863647460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.437447534981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81315363} λ = 0.81315363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.437447534981))-π/2
    2×atan(11.4437935497348)-π/2
    2×1.48363412001915-π/2
    2.96726824003829-1.57079632675     		φ = 1.39647191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81315363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.590271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39647191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.011947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82499 KachelY 14689 0.81315363 1.39647191 46.590271 80.011947
    Oben rechts KachelX + 1 82500 KachelY 14689 0.81320157 1.39647191 46.593018 80.011947
    Unten links KachelX 82499 KachelY + 1 14690 0.81315363 1.39646360 46.590271 80.011471
    Unten rechts KachelX + 1 82500 KachelY + 1 14690 0.81320157 1.39646360 46.593018 80.011471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39647191-1.39646360) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39647191-1.39646360) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81315363-0.81320157) × cos(1.39647191) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.17344283320032 × 6371000     		do = 52.9739056779922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81315363-0.81320157) × cos(1.39646360) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173451017247462 × 6371000     		du = 52.9764052966468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39647191)-sin(1.39646360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17344283320032-0.173451017247462)×R²
    abs(0.81320157-0.81315363)×8.18404714203469e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.18404714203469e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.18404714203469e-06×40589641000000     		ar = 2804.66418677067m²