Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82493 / 14691
↖ ↑ ↗
← N 80.010994°
E 46.573792°		 ← 52.97 m → N 80.010994°
E 46.576538°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.010518°
E 46.573792°		 ← 52.97 m →
2 804 m²		 N 80.010518°
E 46.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629375457763672 y=0.112087249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629375457763672 × 217)
    floor (0.629375457763672 × 131072)
    floor (82493.5)     		tx = 82493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112087249755859 × 217)
    floor (0.112087249755859 × 131072)
    floor (14691.5)     		ty = 14691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82493 / 14691 ti = "17/82493/14691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82493/14691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82493 ÷ 217
    82493 ÷ 131072     		x = 0.629371643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14691 ÷ 217
    14691 ÷ 131072     		y = 0.112083435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629371643066406 × 2 - 1) × π
    0.258743286132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81286601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112083435058594 × 2 - 1) × π
    0.775833129882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43735166118176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81286601} λ = 0.81286601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43735166118176))-π/2
    2×atan(11.4426964423622)-π/2
    2×1.48362580531508-π/2
    2.96725161063016-1.57079632675     		φ = 1.39645528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81286601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.573792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39645528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.010994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82493 KachelY 14691 0.81286601 1.39645528 46.573792 80.010994
    Oben rechts KachelX + 1 82494 KachelY 14691 0.81291394 1.39645528 46.576538 80.010994
    Unten links KachelX 82493 KachelY + 1 14692 0.81286601 1.39644697 46.573792 80.010518
    Unten rechts KachelX + 1 82494 KachelY + 1 14692 0.81291394 1.39644697 46.576538 80.010518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39645528-1.39644697) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39645528-1.39644697) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81286601-0.81291394) × cos(1.39645528) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173459211131036 × 6371000     		do = 52.9678568330816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81286601-0.81291394) × cos(1.39644697) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173467395154208 × 6371000     		du = 52.9703559230108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39645528)-sin(1.39644697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173459211131036-0.173467395154208)×R²
    abs(0.81291394-0.81286601)×8.1840231713759e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.1840231713759e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.1840231713759e-06×40589641000000     		ar = 2804.34392885526m²