Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82493 / 14657
↖ ↑ ↗
← N 80.027179°
E 46.573792°		 ← 52.88 m → N 80.027179°
E 46.576538°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.026704°
E 46.573792°		 ← 52.89 m →
2 796 m²		 N 80.026704°
E 46.576538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629375457763672 y=0.111827850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629375457763672 × 217)
    floor (0.629375457763672 × 131072)
    floor (82493.5)     		tx = 82493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111827850341797 × 217)
    floor (0.111827850341797 × 131072)
    floor (14657.5)     		ty = 14657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82493 / 14657 ti = "17/82493/14657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82493/14657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82493 ÷ 217
    82493 ÷ 131072     		x = 0.629371643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14657 ÷ 217
    14657 ÷ 131072     		y = 0.111824035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629371643066406 × 2 - 1) × π
    0.258743286132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81286601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111824035644531 × 2 - 1) × π
    0.776351928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43898151576884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81286601} λ = 0.81286601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43898151576884))-π/2
    2×atan(11.4613615802458)-π/2
    2×1.48376704856712-π/2
    2.96753409713424-1.57079632675     		φ = 1.39673777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81286601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.573792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39673777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.027179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82493 KachelY 14657 0.81286601 1.39673777 46.573792 80.027179
    Oben rechts KachelX + 1 82494 KachelY 14657 0.81291394 1.39673777 46.576538 80.027179
    Unten links KachelX 82493 KachelY + 1 14658 0.81286601 1.39672947 46.573792 80.026704
    Unten rechts KachelX + 1 82494 KachelY + 1 14658 0.81291394 1.39672947 46.576538 80.026704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39673777-1.39672947) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dl = 52.8793000011669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39673777-1.39672947) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dr = 52.8793000011669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81286601-0.81291394) × cos(1.39673777) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173180996464256 × 6371000     		do = 52.8829006376579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81286601-0.81291394) × cos(1.39672947) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173189171045419 × 6371000     		du = 52.8853968443561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39673777)-sin(1.39672947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173180996464256-0.173189171045419)×R²
    abs(0.81291394-0.81286601)×8.17458116278424e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.17458116278424e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.17458116278424e-06×40589641000000     		ar = 2796.47676655721m²