Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82492 / 18998
↖ ↑ ↗
← N 77.736118°
E 46.571045°		 ← 64.88 m → N 77.736118°
E 46.573792°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.735534°
E 46.571045°		 ← 64.88 m →
4 208 m²		 N 77.735534°
E 46.573792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629367828369141 y=0.144947052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629367828369141 × 217)
    floor (0.629367828369141 × 131072)
    floor (82492.5)     		tx = 82492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144947052001953 × 217)
    floor (0.144947052001953 × 131072)
    floor (18998.5)     		ty = 18998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82492 / 18998 ti = "17/82492/18998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82492/18998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82492 ÷ 217
    82492 ÷ 131072     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18998 ÷ 217
    18998 ÷ 131072     		y = 0.144943237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144943237304688 × 2 - 1) × π
    0.710113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23088743451817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23088743451817))-π/2
    2×atan(9.30812276474879)-π/2
    2×1.46377376555624-π/2
    2.92754753111248-1.57079632675     		φ = 1.35675120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35675120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.736118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82492 KachelY 18998 0.81281807 1.35675120 46.571045 77.736118
    Oben rechts KachelX + 1 82493 KachelY 18998 0.81286601 1.35675120 46.573792 77.736118
    Unten links KachelX 82492 KachelY + 1 18999 0.81281807 1.35674102 46.571045 77.735534
    Unten rechts KachelX + 1 82493 KachelY + 1 18999 0.81286601 1.35674102 46.573792 77.735534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35675120-1.35674102) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35675120-1.35674102) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.35675120) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212414442598447 × 6371000     		do = 64.8768383174258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.35674102) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212424390276465 × 6371000     		du = 64.8798765943459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35675120)-sin(1.35674102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212414442598447-0.212424390276465)×R²
    abs(0.81286601-0.81281807)×9.94767801873464e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.94767801873464e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.94767801873464e-06×40589641000000     		ar = 4207.80135628278m²