Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82492 / 14684
↖ ↑ ↗
← N 80.014328°
E 46.571045°		 ← 52.96 m → N 80.014328°
E 46.573792°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.013852°
E 46.571045°		 ← 52.96 m →
2 804 m²		 N 80.013852°
E 46.573792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629367828369141 y=0.112033843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629367828369141 × 217)
    floor (0.629367828369141 × 131072)
    floor (82492.5)     		tx = 82492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112033843994141 × 217)
    floor (0.112033843994141 × 131072)
    floor (14684.5)     		ty = 14684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82492 / 14684 ti = "17/82492/14684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82492/14684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82492 ÷ 217
    82492 ÷ 131072     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14684 ÷ 217
    14684 ÷ 131072     		y = 0.112030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112030029296875 × 2 - 1) × π
    0.77593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4376872194791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4376872194791))-π/2
    2×atan(11.4465367783897)-π/2
    2×1.4836549033449-π/2
    2.9673098066898-1.57079632675     		φ = 1.39651348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39651348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.014328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82492 KachelY 14684 0.81281807 1.39651348 46.571045 80.014328
    Oben rechts KachelX + 1 82493 KachelY 14684 0.81286601 1.39651348 46.573792 80.014328
    Unten links KachelX 82492 KachelY + 1 14685 0.81281807 1.39650517 46.571045 80.013852
    Unten rechts KachelX + 1 82493 KachelY + 1 14685 0.81286601 1.39650517 46.573792 80.013852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39651348-1.39650517) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39651348-1.39650517) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.39651348) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173401893087939 × 6371000     		do = 52.9614015138726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.39650517) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173410077194991 × 6371000     		du = 52.9639011508251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39651348)-sin(1.39650517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173401893087939-0.173410077194991)×R²
    abs(0.81286601-0.81281807)×8.18410705163974e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.18410705163974e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.18410705163974e-06×40589641000000     		ar = 2804.00217917725m²