Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82492 / 14652
↖ ↑ ↗
← N 80.029557°
E 46.571045°		 ← 52.88 m → N 80.029557°
E 46.573792°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.029082°
E 46.571045°		 ← 52.88 m →
2 796 m²		 N 80.029082°
E 46.573792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629367828369141 y=0.111789703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629367828369141 × 217)
    floor (0.629367828369141 × 131072)
    floor (82492.5)     		tx = 82492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111789703369141 × 217)
    floor (0.111789703369141 × 131072)
    floor (14652.5)     		ty = 14652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82492 / 14652 ti = "17/82492/14652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82492/14652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82492 ÷ 217
    82492 ÷ 131072     		x = 0.629364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14652 ÷ 217
    14652 ÷ 131072     		y = 0.111785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629364013671875 × 2 - 1) × π
    0.25872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81281807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111785888671875 × 2 - 1) × π
    0.77642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43922120026694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81281807} λ = 0.81281807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43922120026694))-π/2
    2×atan(11.46410902019)-π/2
    2×1.48378780051771-π/2
    2.96757560103541-1.57079632675     		φ = 1.39677927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81281807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.571045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39677927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.029557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82492 KachelY 14652 0.81281807 1.39677927 46.571045 80.029557
    Oben rechts KachelX + 1 82493 KachelY 14652 0.81286601 1.39677927 46.573792 80.029557
    Unten links KachelX 82492 KachelY + 1 14653 0.81281807 1.39677097 46.571045 80.029082
    Unten rechts KachelX + 1 82493 KachelY + 1 14653 0.81286601 1.39677097 46.573792 80.029082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39677927-1.39677097) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39677927-1.39677097) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.39677927) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173140123379498 × 6371000     		do = 52.8814503069622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81281807-0.81286601) × cos(1.39677097) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173148298020307 × 6371000     		du = 52.8839470526805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39677927)-sin(1.39677097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173140123379498-0.173148298020307)×R²
    abs(0.81286601-0.81281807)×8.17464080915542e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.17464080915542e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.17464080915542e-06×40589641000000     		ar = 2796.40008845009m²