Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82490 / 19000
↖ ↑ ↗
← N 77.734951°
E 46.565552°		 ← 64.87 m → N 77.734951°
E 46.568298°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.734367°
E 46.565552°		 ← 64.87 m →
4 211 m²		 N 77.734367°
E 46.568298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629352569580078 y=0.144962310791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629352569580078 × 217)
    floor (0.629352569580078 × 131072)
    floor (82490.5)     		tx = 82490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144962310791016 × 217)
    floor (0.144962310791016 × 131072)
    floor (19000.5)     		ty = 19000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82490 / 19000 ti = "17/82490/19000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82490/19000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82490 ÷ 217
    82490 ÷ 131072     		x = 0.629348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19000 ÷ 217
    19000 ÷ 131072     		y = 0.14495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629348754882812 × 2 - 1) × π
    0.258697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81272220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14495849609375 × 2 - 1) × π
    0.7100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23079156071893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81272220} λ = 0.81272220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23079156071893))-π/2
    2×atan(9.30723040243331)-π/2
    2×1.46376358258964-π/2
    2.92752716517927-1.57079632675     		φ = 1.35673084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81272220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.565552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35673084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.734951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82490 KachelY 19000 0.81272220 1.35673084 46.565552 77.734951
    Oben rechts KachelX + 1 82491 KachelY 19000 0.81277013 1.35673084 46.568298 77.734951
    Unten links KachelX 82490 KachelY + 1 19001 0.81272220 1.35672065 46.565552 77.734367
    Unten rechts KachelX + 1 82491 KachelY + 1 19001 0.81277013 1.35672065 46.568298 77.734367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35673084-1.35672065) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35673084-1.35672065) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81272220-0.81277013) × cos(1.35673084) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21243433793247 × 6371000     		do = 64.8693806728048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81272220-0.81277013) × cos(1.35672065) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212444295338192 × 6371000     		du = 64.8724212864295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35673084)-sin(1.35672065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21243433793247-0.212444295338192)×R²
    abs(0.81277013-0.81272220)×9.95740572157233e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95740572157233e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95740572157233e-06×40589641000000     		ar = 4211.45067831561m²