Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82490 / 14682
↖ ↑ ↗
← N 80.015281°
E 46.565552°		 ← 52.95 m → N 80.015281°
E 46.568298°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.014805°
E 46.565552°		 ← 52.95 m →
2 803 m²		 N 80.014805°
E 46.568298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629352569580078 y=0.112018585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629352569580078 × 217)
    floor (0.629352569580078 × 131072)
    floor (82490.5)     		tx = 82490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112018585205078 × 217)
    floor (0.112018585205078 × 131072)
    floor (14682.5)     		ty = 14682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82490 / 14682 ti = "17/82490/14682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82490/14682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82490 ÷ 217
    82490 ÷ 131072     		x = 0.629348754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14682 ÷ 217
    14682 ÷ 131072     		y = 0.112014770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629348754882812 × 2 - 1) × π
    0.258697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81272220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112014770507812 × 2 - 1) × π
    0.775970458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43778309327834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81272220} λ = 0.81272220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43778309327834))-π/2
    2×atan(11.4476342539675)-π/2
    2×1.48366321530163-π/2
    2.96732643060326-1.57079632675     		φ = 1.39653010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81272220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.565552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39653010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.015281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82490 KachelY 14682 0.81272220 1.39653010 46.565552 80.015281
    Oben rechts KachelX + 1 82491 KachelY 14682 0.81277013 1.39653010 46.568298 80.015281
    Unten links KachelX 82490 KachelY + 1 14683 0.81272220 1.39652179 46.565552 80.014805
    Unten rechts KachelX + 1 82491 KachelY + 1 14683 0.81277013 1.39652179 46.568298 80.014805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39653010-1.39652179) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dl = 52.9430100007797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39653010-1.39652179) × R
    8.31000000012239e-06 × 6371000     		dr = 52.9430100007797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81272220-0.81277013) × cos(1.39653010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173385524837913 × 6371000     		do = 52.945355837153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81272220-0.81277013) × cos(1.39652179) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173393708968913 × 6371000     		du = 52.947854960009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39653010)-sin(1.39652179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173385524837913-0.173393708968913)×R²
    abs(0.81277013-0.81272220)×8.18413099998305e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.18413099998305e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.18413099998305e-06×40589641000000     		ar = 2803.15265909496m²