Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82488 / 14683
↖ ↑ ↗
← N 80.014805°
E 46.560058°		 ← 52.96 m → N 80.014805°
E 46.562805°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.014328°
E 46.560058°		 ← 52.96 m →
2 804 m²		 N 80.014328°
E 46.562805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629337310791016 y=0.112026214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629337310791016 × 217)
    floor (0.629337310791016 × 131072)
    floor (82488.5)     		tx = 82488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112026214599609 × 217)
    floor (0.112026214599609 × 131072)
    floor (14683.5)     		ty = 14683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82488 / 14683 ti = "17/82488/14683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82488/14683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82488 ÷ 217
    82488 ÷ 131072     		x = 0.62933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14683 ÷ 217
    14683 ÷ 131072     		y = 0.112022399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81262632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112022399902344 × 2 - 1) × π
    0.775955200195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43773515637872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81262632} λ = 0.81262632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43773515637872))-π/2
    2×atan(11.4470855030262)-π/2
    2×1.48365905942137-π/2
    2.96731811884274-1.57079632675     		φ = 1.39652179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81262632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.560058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39652179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.014805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82488 KachelY 14683 0.81262632 1.39652179 46.560058 80.014805
    Oben rechts KachelX + 1 82489 KachelY 14683 0.81267426 1.39652179 46.562805 80.014805
    Unten links KachelX 82488 KachelY + 1 14684 0.81262632 1.39651348 46.560058 80.014328
    Unten rechts KachelX + 1 82489 KachelY + 1 14684 0.81267426 1.39651348 46.562805 80.014328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39652179-1.39651348) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39652179-1.39651348) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81262632-0.81267426) × cos(1.39652179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173393708968913 × 6371000     		do = 52.9589018731403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81262632-0.81267426) × cos(1.39651348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173401893087939 × 6371000     		du = 52.96140151375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39652179)-sin(1.39651348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173393708968913-0.173401893087939)×R²
    abs(0.81267426-0.81262632)×8.18411902589467e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.18411902589467e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.18411902589467e-06×40589641000000     		ar = 2803.86984064778m²