Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82487 / 20090
↖ ↑ ↗
← N 77.082468°
E 46.557312°		 ← 68.26 m → N 77.082468°
E 46.560058°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.081854°
E 46.557312°		 ← 68.27 m →
4 662 m²		 N 77.081854°
E 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629329681396484 y=0.153278350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629329681396484 × 217)
    floor (0.629329681396484 × 131072)
    floor (82487.5)     		tx = 82487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153278350830078 × 217)
    floor (0.153278350830078 × 131072)
    floor (20090.5)     		ty = 20090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82487 / 20090 ti = "17/82487/20090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82487/20090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82487 ÷ 217
    82487 ÷ 131072     		x = 0.629325866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20090 ÷ 217
    20090 ÷ 131072     		y = 0.153274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629325866699219 × 2 - 1) × π
    0.258651733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81257839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153274536132812 × 2 - 1) × π
    0.693450927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17854034013307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81257839} λ = 0.81257839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17854034013307))-π/2
    2×atan(8.83340307992156)-π/2
    2×1.45806959775552-π/2
    2.91613919551104-1.57079632675     		φ = 1.34534287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81257839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.557312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34534287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.082468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82487 KachelY 20090 0.81257839 1.34534287 46.557312 77.082468
    Oben rechts KachelX + 1 82488 KachelY 20090 0.81262632 1.34534287 46.560058 77.082468
    Unten links KachelX 82487 KachelY + 1 20091 0.81257839 1.34533215 46.557312 77.081854
    Unten rechts KachelX + 1 82488 KachelY + 1 20091 0.81262632 1.34533215 46.560058 77.081854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34534287-1.34533215) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dl = 68.2971200008322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34534287-1.34533215) × R
    1.07200000001306e-05 × 6371000     		dr = 68.2971200008322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81257839-0.81262632) × cos(1.34534287) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223548366190166 × 6371000     		do = 68.2631829030542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81257839-0.81262632) × cos(1.34533215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223558814884542 × 6371000     		du = 68.2663735375796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34534287)-sin(1.34533215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223548366190166-0.223558814884542)×R²
    abs(0.81262632-0.81257839)×1.04486943757753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04486943757753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04486943757753e-05×40589641000000     		ar = 4662.28775002313m²