Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82487 / 18997
↖ ↑ ↗
← N 77.736701°
E 46.557312°		 ← 64.86 m → N 77.736701°
E 46.560058°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.736118°
E 46.557312°		 ← 64.86 m →
4 211 m²		 N 77.736118°
E 46.560058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629329681396484 y=0.144939422607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629329681396484 × 217)
    floor (0.629329681396484 × 131072)
    floor (82487.5)     		tx = 82487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144939422607422 × 217)
    floor (0.144939422607422 × 131072)
    floor (18997.5)     		ty = 18997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82487 / 18997 ti = "17/82487/18997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82487/18997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82487 ÷ 217
    82487 ÷ 131072     		x = 0.629325866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18997 ÷ 217
    18997 ÷ 131072     		y = 0.144935607910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629325866699219 × 2 - 1) × π
    0.258651733398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81257839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144935607910156 × 2 - 1) × π
    0.710128784179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23093537141779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81257839} λ = 0.81257839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23093537141779))-π/2
    2×atan(9.30856897799037)-π/2
    2×1.4637788566818-π/2
    2.9275577133636-1.57079632675     		φ = 1.35676139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81257839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.557312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35676139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.736701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82487 KachelY 18997 0.81257839 1.35676139 46.557312 77.736701
    Oben rechts KachelX + 1 82488 KachelY 18997 0.81262632 1.35676139 46.560058 77.736701
    Unten links KachelX 82487 KachelY + 1 18998 0.81257839 1.35675120 46.557312 77.736118
    Unten rechts KachelX + 1 82488 KachelY + 1 18998 0.81262632 1.35675120 46.560058 77.736118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35676139-1.35675120) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35676139-1.35675120) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81257839-0.81262632) × cos(1.35676139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212404485126596 × 6371000     		do = 64.860264759402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81257839-0.81262632) × cos(1.35675120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212414442598447 × 6371000     		du = 64.8633053932198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35676139)-sin(1.35675120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212404485126596-0.212414442598447)×R²
    abs(0.81262632-0.81257839)×9.95747185025819e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95747185025819e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95747185025819e-06×40589641000000     		ar = 4210.85886936425m²