Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82486 / 19181
↖ ↑ ↗
← N 77.628894°
E 46.554566°		 ← 65.44 m → N 77.628894°
E 46.557312°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.628306°
E 46.554566°		 ← 65.44 m →
4 282 m²		 N 77.628306°
E 46.557312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629322052001953 y=0.146343231201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629322052001953 × 217)
    floor (0.629322052001953 × 131072)
    floor (82486.5)     		tx = 82486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146343231201172 × 217)
    floor (0.146343231201172 × 131072)
    floor (19181.5)     		ty = 19181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82486 / 19181 ti = "17/82486/19181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82486/19181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82486 ÷ 217
    82486 ÷ 131072     		x = 0.629318237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19181 ÷ 217
    19181 ÷ 131072     		y = 0.146339416503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629318237304688 × 2 - 1) × π
    0.258636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81253045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146339416503906 × 2 - 1) × π
    0.707321166992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2221149818877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81253045} λ = 0.81253045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2221149818877))-π/2
    2×atan(9.22682481130181)-π/2
    2×1.46283806348763-π/2
    2.92567612697525-1.57079632675     		φ = 1.35487980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81253045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.554566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35487980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.628894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82486 KachelY 19181 0.81253045 1.35487980 46.554566 77.628894
    Oben rechts KachelX + 1 82487 KachelY 19181 0.81257839 1.35487980 46.557312 77.628894
    Unten links KachelX 82486 KachelY + 1 19182 0.81253045 1.35486953 46.554566 77.628306
    Unten rechts KachelX + 1 82487 KachelY + 1 19182 0.81257839 1.35486953 46.557312 77.628306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35487980-1.35486953) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35487980-1.35486953) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81253045-0.81257839) × cos(1.35487980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214242763610499 × 6371000     		do = 65.4352546153388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81253045-0.81257839) × cos(1.35486953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214252795134373 × 6371000     		du = 65.4383185009414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35487980)-sin(1.35486953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214242763610499-0.214252795134373)×R²
    abs(0.81257839-0.81253045)×1.00315238741877e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00315238741877e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00315238741877e-05×40589641000000     		ar = 4281.54006888668m²