Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82484 / 15859
↖ ↑ ↗
← N 79.438917°
E 46.549072°		 ← 55.98 m → N 79.438917°
E 46.551819°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.438414°
E 46.549072°		 ← 55.98 m →
3 135 m²		 N 79.438414°
E 46.551819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629306793212891 y=0.120998382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629306793212891 × 217)
    floor (0.629306793212891 × 131072)
    floor (82484.5)     		tx = 82484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120998382568359 × 217)
    floor (0.120998382568359 × 131072)
    floor (15859.5)     		ty = 15859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82484 / 15859 ti = "17/82484/15859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82484/15859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82484 ÷ 217
    82484 ÷ 131072     		x = 0.629302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15859 ÷ 217
    15859 ÷ 131072     		y = 0.120994567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629302978515625 × 2 - 1) × π
    0.25860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81243457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120994567871094 × 2 - 1) × π
    0.758010864257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.38136136242553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81243457} λ = 0.81243457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38136136242553))-π/2
    2×atan(10.8196222696514)-π/2
    2×1.4786334914244-π/2
    2.9572669828488-1.57079632675     		φ = 1.38647066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81243457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38647066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.438917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82484 KachelY 15859 0.81243457 1.38647066 46.549072 79.438917
    Oben rechts KachelX + 1 82485 KachelY 15859 0.81248251 1.38647066 46.551819 79.438917
    Unten links KachelX 82484 KachelY + 1 15860 0.81243457 1.38646187 46.549072 79.438414
    Unten rechts KachelX + 1 82485 KachelY + 1 15860 0.81248251 1.38646187 46.551819 79.438414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38647066-1.38646187) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38647066-1.38646187) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81243457-0.81248251) × cos(1.38647066) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183283665203408 × 6371000     		do = 55.9795490747561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81243457-0.81248251) × cos(1.38646187) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183292306294329 × 6371000     		du = 55.982188286345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38647066)-sin(1.38646187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183283665203408-0.183292306294329)×R²
    abs(0.81248251-0.81243457)×8.64109092055254e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64109092055254e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64109092055254e-06×40589641000000     		ar = 3134.98966548513m²