Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82484 / 14676
↖ ↑ ↗
← N 80.018138°
E 46.549072°		 ← 52.94 m → N 80.018138°
E 46.551819°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.017662°
E 46.549072°		 ← 52.94 m →
2 803 m²		 N 80.017662°
E 46.551819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629306793212891 y=0.111972808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629306793212891 × 217)
    floor (0.629306793212891 × 131072)
    floor (82484.5)     		tx = 82484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111972808837891 × 217)
    floor (0.111972808837891 × 131072)
    floor (14676.5)     		ty = 14676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82484 / 14676 ti = "17/82484/14676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82484/14676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82484 ÷ 217
    82484 ÷ 131072     		x = 0.629302978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14676 ÷ 217
    14676 ÷ 131072     		y = 0.111968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629302978515625 × 2 - 1) × π
    0.25860595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81243457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111968994140625 × 2 - 1) × π
    0.77606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43807071467606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81243457} λ = 0.81243457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43807071467606))-π/2
    2×atan(11.4509273120865)-π/2
    2×1.48368814646335-π/2
    2.9673762929267-1.57079632675     		φ = 1.39657997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81243457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.549072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39657997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.018138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82484 KachelY 14676 0.81243457 1.39657997 46.549072 80.018138
    Oben rechts KachelX + 1 82485 KachelY 14676 0.81248251 1.39657997 46.551819 80.018138
    Unten links KachelX 82484 KachelY + 1 14677 0.81243457 1.39657166 46.549072 80.017662
    Unten rechts KachelX + 1 82485 KachelY + 1 14677 0.81248251 1.39657166 46.551819 80.017662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39657997-1.39657166) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39657997-1.39657166) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81243457-0.81248251) × cos(1.39657997) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173336409951867 × 6371000     		do = 52.9414012785804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81243457-0.81248251) × cos(1.39657166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.173344594154713 × 6371000     		du = 52.9439009447908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39657997)-sin(1.39657166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173336409951867-0.173344594154713)×R²
    abs(0.81248251-0.81243457)×8.18420284567911e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.18420284567911e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.18420284567911e-06×40589641000000     		ar = 2802.94330723919m²