Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82483 / 20083
↖ ↑ ↗
← N 77.086766°
E 46.546326°		 ← 68.24 m → N 77.086766°
E 46.549072°		 →
↑
68.23 m
↓
↑
68.23 m
↓
N 77.086152°
E 46.546326°		 ← 68.24 m →
4 656 m²		 N 77.086152°
E 46.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629299163818359 y=0.153224945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629299163818359 × 217)
    floor (0.629299163818359 × 131072)
    floor (82483.5)     		tx = 82483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153224945068359 × 217)
    floor (0.153224945068359 × 131072)
    floor (20083.5)     		ty = 20083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82483 / 20083 ti = "17/82483/20083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82483/20083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82483 ÷ 217
    82483 ÷ 131072     		x = 0.629295349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20083 ÷ 217
    20083 ÷ 131072     		y = 0.153221130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629295349121094 × 2 - 1) × π
    0.258590698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81238664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153221130371094 × 2 - 1) × π
    0.693557739257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17887589843041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81238664} λ = 0.81238664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17887589843041))-π/2
    2×atan(8.83636769899223)-π/2
    2×1.45810709837733-π/2
    2.91621419675467-1.57079632675     		φ = 1.34541787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81238664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.546326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34541787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.086766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82483 KachelY 20083 0.81238664 1.34541787 46.546326 77.086766
    Oben rechts KachelX + 1 82484 KachelY 20083 0.81243457 1.34541787 46.549072 77.086766
    Unten links KachelX 82483 KachelY + 1 20084 0.81238664 1.34540716 46.546326 77.086152
    Unten rechts KachelX + 1 82484 KachelY + 1 20084 0.81243457 1.34540716 46.549072 77.086152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34541787-1.34540716) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dl = 68.2334099998048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34541787-1.34540716) × R
    1.07099999999694e-05 × 6371000     		dr = 68.2334099998048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.34541787) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223475263598673 × 6371000     		do = 68.2408601471596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.34540716) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.223485702725684 × 6371000     		du = 68.2440478601752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34541787)-sin(1.34540716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223475263598673-0.223485702725684)×R²
    abs(0.81243457-0.81238664)×1.04391270112636e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04391270112636e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04391270112636e-05×40589641000000     		ar = 4656.41534338212m²