Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82483 / 19018
↖ ↑ ↗
← N 77.724444°
E 46.546326°		 ← 64.92 m → N 77.724444°
E 46.549072°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.723860°
E 46.546326°		 ← 64.93 m →
4 215 m²		 N 77.723860°
E 46.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629299163818359 y=0.145099639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629299163818359 × 217)
    floor (0.629299163818359 × 131072)
    floor (82483.5)     		tx = 82483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145099639892578 × 217)
    floor (0.145099639892578 × 131072)
    floor (19018.5)     		ty = 19018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82483 / 19018 ti = "17/82483/19018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82483/19018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82483 ÷ 217
    82483 ÷ 131072     		x = 0.629295349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19018 ÷ 217
    19018 ÷ 131072     		y = 0.145095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629295349121094 × 2 - 1) × π
    0.258590698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81238664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145095825195312 × 2 - 1) × π
    0.709808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22992869652577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81238664} λ = 0.81238664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22992869652577))-π/2
    2×atan(9.29920299036283)-π/2
    2×1.46367189294814-π/2
    2.92734378589628-1.57079632675     		φ = 1.35654746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81238664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.546326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35654746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.724444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82483 KachelY 19018 0.81238664 1.35654746 46.546326 77.724444
    Oben rechts KachelX + 1 82484 KachelY 19018 0.81243457 1.35654746 46.549072 77.724444
    Unten links KachelX 82483 KachelY + 1 19019 0.81238664 1.35653727 46.546326 77.723860
    Unten rechts KachelX + 1 82484 KachelY + 1 19019 0.81243457 1.35653727 46.549072 77.723860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35654746-1.35653727) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35654746-1.35653727) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.35654746) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212613528774074 × 6371000     		do = 64.9240987518039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.35653727) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.212623485782655 × 6371000     		du = 64.9271392441569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35654746)-sin(1.35653727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212613528774074-0.212623485782655)×R²
    abs(0.81243457-0.81238664)×9.95700858108517e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.95700858108517e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.95700858108517e-06×40589641000000     		ar = 4215.00299879948m²