Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82483 / 15857
↖ ↑ ↗
← N 79.439924°
E 46.546326°		 ← 55.96 m → N 79.439924°
E 46.549072°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.439420°
E 46.546326°		 ← 55.97 m →
3 134 m²		 N 79.439420°
E 46.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629299163818359 y=0.120983123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629299163818359 × 217)
    floor (0.629299163818359 × 131072)
    floor (82483.5)     		tx = 82483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120983123779297 × 217)
    floor (0.120983123779297 × 131072)
    floor (15857.5)     		ty = 15857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82483 / 15857 ti = "17/82483/15857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82483/15857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82483 ÷ 217
    82483 ÷ 131072     		x = 0.629295349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15857 ÷ 217
    15857 ÷ 131072     		y = 0.120979309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629295349121094 × 2 - 1) × π
    0.258590698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81238664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120979309082031 × 2 - 1) × π
    0.758041381835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.38145723622477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81238664} λ = 0.81238664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38145723622477))-π/2
    2×atan(10.8206596376721)-π/2
    2×1.47864227706122-π/2
    2.95728455412244-1.57079632675     		φ = 1.38648823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81238664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.546326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38648823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.439924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82483 KachelY 15857 0.81238664 1.38648823 46.546326 79.439924
    Oben rechts KachelX + 1 82484 KachelY 15857 0.81243457 1.38648823 46.549072 79.439924
    Unten links KachelX 82483 KachelY + 1 15858 0.81238664 1.38647944 46.546326 79.439420
    Unten rechts KachelX + 1 82484 KachelY + 1 15858 0.81243457 1.38647944 46.549072 79.439420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38648823-1.38647944) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38648823-1.38647944) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.38648823) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.183266392809717 × 6371000     		do = 55.9625977390573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81238664-0.81243457) × cos(1.38647944) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.183275033928943 × 6371000     		du = 55.9652364087656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38648823)-sin(1.38647944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183266392809717-0.183275033928943)×R²
    abs(0.81243457-0.81238664)×8.64111922624367e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.64111922624367e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.64111922624367e-06×40589641000000     		ar = 3134.0403570288m²