Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82480 / 19184
↖ ↑ ↗
← N 77.627129°
E 46.538086°		 ← 65.43 m → N 77.627129°
E 46.540832°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.626541°
E 46.538086°		 ← 65.43 m →
4 281 m²		 N 77.626541°
E 46.540832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629276275634766 y=0.146366119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629276275634766 × 217)
    floor (0.629276275634766 × 131072)
    floor (82480.5)     		tx = 82480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146366119384766 × 217)
    floor (0.146366119384766 × 131072)
    floor (19184.5)     		ty = 19184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82480 / 19184 ti = "17/82480/19184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82480/19184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82480 ÷ 217
    82480 ÷ 131072     		x = 0.6292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19184 ÷ 217
    19184 ÷ 131072     		y = 0.1463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6292724609375 × 2 - 1) × π
    0.258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81224283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1463623046875 × 2 - 1) × π
    0.707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22197117118884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81224283} λ = 0.81224283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22197117118884))-π/2
    2×atan(9.22549799058524)-π/2
    2×1.46282265720482-π/2
    2.92564531440963-1.57079632675     		φ = 1.35484899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81224283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35484899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.627129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82480 KachelY 19184 0.81224283 1.35484899 46.538086 77.627129
    Oben rechts KachelX + 1 82481 KachelY 19184 0.81229076 1.35484899 46.540832 77.627129
    Unten links KachelX 82480 KachelY + 1 19185 0.81224283 1.35483872 46.538086 77.626541
    Unten rechts KachelX + 1 82481 KachelY + 1 19185 0.81229076 1.35483872 46.540832 77.626541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35484899-1.35483872) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35484899-1.35483872) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81224283-0.81229076) × cos(1.35484899) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214272858114327 × 6371000     		do = 65.4307949277329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81224283-0.81229076) × cos(1.35483872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214282889570404 × 6371000     		du = 65.4338581535246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35484899)-sin(1.35483872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214272858114327-0.214282889570404)×R²
    abs(0.81229076-0.81224283)×1.00314560774195e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00314560774195e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00314560774195e-05×40589641000000     		ar = 4281.24824919764m²