Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82479 / 19185
↖ ↑ ↗
← N 77.626541°
E 46.535339°		 ← 65.45 m → N 77.626541°
E 46.538086°		 →
↑
65.49 m
↓
↑
65.49 m
↓
N 77.625952°
E 46.535339°		 ← 65.45 m →
4 287 m²		 N 77.625952°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629268646240234 y=0.146373748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629268646240234 × 217)
    floor (0.629268646240234 × 131072)
    floor (82479.5)     		tx = 82479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146373748779297 × 217)
    floor (0.146373748779297 × 131072)
    floor (19185.5)     		ty = 19185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82479 / 19185 ti = "17/82479/19185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82479/19185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82479 ÷ 217
    82479 ÷ 131072     		x = 0.629264831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19185 ÷ 217
    19185 ÷ 131072     		y = 0.146369934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629264831542969 × 2 - 1) × π
    0.258529663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81219489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146369934082031 × 2 - 1) × π
    0.707260131835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.22192323428922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81219489} λ = 0.81219489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22192323428922))-π/2
    2×atan(9.22505575941379)-π/2
    2×1.46281752129628-π/2
    2.92563504259255-1.57079632675     		φ = 1.35483872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81219489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.535339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35483872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.626541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82479 KachelY 19185 0.81219489 1.35483872 46.535339 77.626541
    Oben rechts KachelX + 1 82480 KachelY 19185 0.81224283 1.35483872 46.538086 77.626541
    Unten links KachelX 82479 KachelY + 1 19186 0.81219489 1.35482844 46.535339 77.625952
    Unten rechts KachelX + 1 82480 KachelY + 1 19186 0.81224283 1.35482844 46.538086 77.625952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35483872-1.35482844) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dl = 65.4938800008931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35483872-1.35482844) × R
    1.02800000001402e-05 × 6371000     		dr = 65.4938800008931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81219489-0.81224283) × cos(1.35483872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214282889570404 × 6371000     		do = 65.4475101163361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81219489-0.81224283) × cos(1.35482844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214292930771575 × 6371000     		du = 65.4505769576343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35483872)-sin(1.35482844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214282889570404-0.214292930771575)×R²
    abs(0.81224283-0.81219489)×1.00412011709849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00412011709849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00412011709849e-05×40589641000000     		ar = 4286.51180346921m²