Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82479 / 14704
↖ ↑ ↗
← N 80.004798°
E 46.535339°		 ← 53.01 m → N 80.004798°
E 46.538086°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.004322°
E 46.535339°		 ← 53.01 m →
2 810 m²		 N 80.004322°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629268646240234 y=0.112186431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629268646240234 × 217)
    floor (0.629268646240234 × 131072)
    floor (82479.5)     		tx = 82479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112186431884766 × 217)
    floor (0.112186431884766 × 131072)
    floor (14704.5)     		ty = 14704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82479 / 14704 ti = "17/82479/14704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82479/14704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82479 ÷ 217
    82479 ÷ 131072     		x = 0.629264831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14704 ÷ 217
    14704 ÷ 131072     		y = 0.1121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629264831542969 × 2 - 1) × π
    0.258529663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81219489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1121826171875 × 2 - 1) × π
    0.775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43672848148669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81219489} λ = 0.81219489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43672848148669))-π/2
    2×atan(11.4355678077235)-π/2
    2×1.48357174059826-π/2
    2.96714348119652-1.57079632675     		φ = 1.39634715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81219489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.535339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39634715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.004798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82479 KachelY 14704 0.81219489 1.39634715 46.535339 80.004798
    Oben rechts KachelX + 1 82480 KachelY 14704 0.81224283 1.39634715 46.538086 80.004798
    Unten links KachelX 82479 KachelY + 1 14705 0.81219489 1.39633883 46.535339 80.004322
    Unten rechts KachelX + 1 82480 KachelY + 1 14705 0.81224283 1.39633883 46.538086 80.004322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39634715-1.39633883) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39634715-1.39633883) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81219489-0.81224283) × cos(1.39634715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173565700979971 × 6371000     		do = 53.0114326603915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81219489-0.81224283) × cos(1.39633883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173573894695435 × 6371000     		du = 53.0139352320006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39634715)-sin(1.39633883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173565700979971-0.173573894695435)×R²
    abs(0.81224283-0.81219489)×8.19371546473269e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19371546473269e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19371546473269e-06×40589641000000     		ar = 2810.0284943785m²