Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82478 / 19013
↖ ↑ ↗
← N 77.727363°
E 46.532593°		 ← 64.92 m → N 77.727363°
E 46.535339°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.726780°
E 46.532593°		 ← 64.93 m →
4 215 m²		 N 77.726780°
E 46.535339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629261016845703 y=0.145061492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629261016845703 × 217)
    floor (0.629261016845703 × 131072)
    floor (82478.5)     		tx = 82478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145061492919922 × 217)
    floor (0.145061492919922 × 131072)
    floor (19013.5)     		ty = 19013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82478 / 19013 ti = "17/82478/19013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82478/19013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82478 ÷ 217
    82478 ÷ 131072     		x = 0.629257202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19013 ÷ 217
    19013 ÷ 131072     		y = 0.145057678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629257202148438 × 2 - 1) × π
    0.258514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81214695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145057678222656 × 2 - 1) × π
    0.709884643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23016838102387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81214695} λ = 0.81214695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23016838102387))-π/2
    2×atan(9.30143213229901)-π/2
    2×1.46369737004816-π/2
    2.92739474009632-1.57079632675     		φ = 1.35659841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81214695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.532593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35659841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.727363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82478 KachelY 19013 0.81214695 1.35659841 46.532593 77.727363
    Oben rechts KachelX + 1 82479 KachelY 19013 0.81219489 1.35659841 46.535339 77.727363
    Unten links KachelX 82478 KachelY + 1 19014 0.81214695 1.35658822 46.532593 77.726780
    Unten rechts KachelX + 1 82479 KachelY + 1 19014 0.81219489 1.35658822 46.535339 77.726780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35659841-1.35658822) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35659841-1.35658822) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81214695-0.81219489) × cos(1.35659841) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212563743400035 × 6371000     		do = 64.9224386250831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81214695-0.81219489) × cos(1.35658822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21257370051899 × 6371000     		du = 64.9254797855084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35659841)-sin(1.35658822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212563743400035-0.21257370051899)×R²
    abs(0.81219489-0.81214695)×9.95711895554474e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.95711895554474e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.95711895554474e-06×40589641000000     		ar = 4214.89524443152m²