Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82477 / 19186
↖ ↑ ↗
← N 77.625952°
E 46.529846°		 ← 65.44 m → N 77.625952°
E 46.532593°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.625363°
E 46.529846°		 ← 65.44 m →
4 282 m²		 N 77.625363°
E 46.532593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629253387451172 y=0.146381378173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629253387451172 × 217)
    floor (0.629253387451172 × 131072)
    floor (82477.5)     		tx = 82477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146381378173828 × 217)
    floor (0.146381378173828 × 131072)
    floor (19186.5)     		ty = 19186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82477 / 19186 ti = "17/82477/19186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82477/19186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82477 ÷ 217
    82477 ÷ 131072     		x = 0.629249572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19186 ÷ 217
    19186 ÷ 131072     		y = 0.146377563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629249572753906 × 2 - 1) × π
    0.258499145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81209902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146377563476562 × 2 - 1) × π
    0.707244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2218752973896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81209902} λ = 0.81209902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2218752973896))-π/2
    2×atan(9.22461354944104)-π/2
    2×1.46281238514725-π/2
    2.9256247702945-1.57079632675     		φ = 1.35482844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81209902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.529846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35482844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.625952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82477 KachelY 19186 0.81209902 1.35482844 46.529846 77.625952
    Oben rechts KachelX + 1 82478 KachelY 19186 0.81214695 1.35482844 46.532593 77.625952
    Unten links KachelX 82477 KachelY + 1 19187 0.81209902 1.35481817 46.529846 77.625363
    Unten rechts KachelX + 1 82478 KachelY + 1 19187 0.81214695 1.35481817 46.532593 77.625363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35482844-1.35481817) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35482844-1.35481817) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81209902-0.81214695) × cos(1.35482844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214292930771575 × 6371000     		do = 65.4369243550978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81209902-0.81214695) × cos(1.35481817) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214302962182428 × 6371000     		du = 65.4399875670794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35482844)-sin(1.35481817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214292930771575-0.214302962182428)×R²
    abs(0.81214695-0.81209902)×1.00314108523181e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00314108523181e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00314108523181e-05×40589641000000     		ar = 4281.64929806554m²