Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82477 / 19012
↖ ↑ ↗
← N 77.727947°
E 46.529846°		 ← 64.91 m → N 77.727947°
E 46.532593°		 →
↑
64.92 m
↓
↑
64.92 m
↓
N 77.727363°
E 46.529846°		 ← 64.91 m →
4 214 m²		 N 77.727363°
E 46.532593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629253387451172 y=0.145053863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629253387451172 × 217)
    floor (0.629253387451172 × 131072)
    floor (82477.5)     		tx = 82477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145053863525391 × 217)
    floor (0.145053863525391 × 131072)
    floor (19012.5)     		ty = 19012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82477 / 19012 ti = "17/82477/19012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82477/19012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82477 ÷ 217
    82477 ÷ 131072     		x = 0.629249572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19012 ÷ 217
    19012 ÷ 131072     		y = 0.145050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629249572753906 × 2 - 1) × π
    0.258499145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81209902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145050048828125 × 2 - 1) × π
    0.70989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23021631792349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81209902} λ = 0.81209902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23021631792349))-π/2
    2×atan(9.30187802480473)-π/2
    2×1.46370246475218-π/2
    2.92740492950435-1.57079632675     		φ = 1.35660860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81209902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.529846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35660860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.727947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82477 KachelY 19012 0.81209902 1.35660860 46.529846 77.727947
    Oben rechts KachelX + 1 82478 KachelY 19012 0.81214695 1.35660860 46.532593 77.727947
    Unten links KachelX 82477 KachelY + 1 19013 0.81209902 1.35659841 46.529846 77.727363
    Unten rechts KachelX + 1 82478 KachelY + 1 19013 0.81214695 1.35659841 46.532593 77.727363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35660860-1.35659841) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dl = 64.9204900001339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35660860-1.35659841) × R
    1.0190000000021e-05 × 6371000     		dr = 64.9204900001339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81209902-0.81214695) × cos(1.35660860) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212553786259007 × 6371000     		do = 64.9058556562763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81209902-0.81214695) × cos(1.35659841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212563743400035 × 6371000     		du = 64.9088961890734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35660860)-sin(1.35659841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212553786259007-0.212563743400035)×R²
    abs(0.81214695-0.81209902)×9.95714102733358e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.95714102733358e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.95714102733358e-06×40589641000000     		ar = 4213.81864956568m²