Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82475 / 18941
↖ ↑ ↗
← N 77.769328°
E 46.524353°		 ← 64.70 m → N 77.769328°
E 46.527100°		 →
↑
64.67 m
↓
↑
64.67 m
↓
N 77.768746°
E 46.524353°		 ← 64.71 m →
4 184 m²		 N 77.768746°
E 46.527100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629238128662109 y=0.144512176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629238128662109 × 217)
    floor (0.629238128662109 × 131072)
    floor (82475.5)     		tx = 82475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144512176513672 × 217)
    floor (0.144512176513672 × 131072)
    floor (18941.5)     		ty = 18941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82475 / 18941 ti = "17/82475/18941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82475/18941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82475 ÷ 217
    82475 ÷ 131072     		x = 0.629234313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18941 ÷ 217
    18941 ÷ 131072     		y = 0.144508361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629234313964844 × 2 - 1) × π
    0.258468627929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81200314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144508361816406 × 2 - 1) × π
    0.710983276367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23361983779652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81200314} λ = 0.81200314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23361983779652))-π/2
    2×atan(9.33359108892705)-π/2
    2×1.46406357941311-π/2
    2.92812715882622-1.57079632675     		φ = 1.35733083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81200314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.524353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35733083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.769328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82475 KachelY 18941 0.81200314 1.35733083 46.524353 77.769328
    Oben rechts KachelX + 1 82476 KachelY 18941 0.81205108 1.35733083 46.527100 77.769328
    Unten links KachelX 82475 KachelY + 1 18942 0.81200314 1.35732068 46.524353 77.768746
    Unten rechts KachelX + 1 82476 KachelY + 1 18942 0.81205108 1.35732068 46.527100 77.768746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35733083-1.35732068) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dl = 64.665650000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35733083-1.35732068) × R
    1.01500000000421e-05 × 6371000     		dr = 64.665650000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81200314-0.81205108) × cos(1.35733083) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211848004296357 × 6371000     		do = 64.7038334798456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81200314-0.81205108) × cos(1.35732068) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.2118579239071 × 6371000     		du = 64.7068631842972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35733083)-sin(1.35732068))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211848004296357-0.2118579239071)×R²
    abs(0.81205108-0.81200314)×9.91961074270353e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.91961074270353e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.91961074270353e-06×40589641000000     		ar = 4184.21340841877m²