Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82474 / 19858
↖ ↑ ↗
← N 77.224145°
E 46.521607°		 ← 67.53 m → N 77.224145°
E 46.524353°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.223538°
E 46.521607°		 ← 67.53 m →
4 560 m²		 N 77.223538°
E 46.524353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629230499267578 y=0.151508331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629230499267578 × 217)
    floor (0.629230499267578 × 131072)
    floor (82474.5)     		tx = 82474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151508331298828 × 217)
    floor (0.151508331298828 × 131072)
    floor (19858.5)     		ty = 19858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82474 / 19858 ti = "17/82474/19858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82474/19858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82474 ÷ 217
    82474 ÷ 131072     		x = 0.629226684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19858 ÷ 217
    19858 ÷ 131072     		y = 0.151504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629226684570312 × 2 - 1) × π
    0.258453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81195521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151504516601562 × 2 - 1) × π
    0.696990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18966170084492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81195521} λ = 0.81195521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18966170084492))-π/2
    2×atan(8.9321908508951)-π/2
    2×1.45930596434263-π/2
    2.91861192868527-1.57079632675     		φ = 1.34781560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81195521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.521607°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34781560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.224145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82474 KachelY 19858 0.81195521 1.34781560 46.521607 77.224145
    Oben rechts KachelX + 1 82475 KachelY 19858 0.81200314 1.34781560 46.524353 77.224145
    Unten links KachelX 82474 KachelY + 1 19859 0.81195521 1.34780500 46.521607 77.223538
    Unten rechts KachelX + 1 82475 KachelY + 1 19859 0.81200314 1.34780500 46.524353 77.223538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34781560-1.34780500) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34781560-1.34780500) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81195521-0.81200314) × cos(1.34781560) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221137532994556 × 6371000     		do = 67.5270059842944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81195521-0.81200314) × cos(1.34780500) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.221147870554032 × 6371000     		du = 67.5301626824415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34781560)-sin(1.34780500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221137532994556-0.221147870554032)×R²
    abs(0.81200314-0.81195521)×1.03375594767141e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.03375594767141e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.03375594767141e-05×40589641000000     		ar = 4560.38087428767m²