Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82472 / 14569
↖ ↑ ↗
← N 80.068950°
E 46.516113°		 ← 52.67 m → N 80.068950°
E 46.518860°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.068476°
E 46.516113°		 ← 52.68 m →
2 775 m²		 N 80.068476°
E 46.518860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629215240478516 y=0.111156463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629215240478516 × 217)
    floor (0.629215240478516 × 131072)
    floor (82472.5)     		tx = 82472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111156463623047 × 217)
    floor (0.111156463623047 × 131072)
    floor (14569.5)     		ty = 14569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82472 / 14569 ti = "17/82472/14569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82472/14569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82472 ÷ 217
    82472 ÷ 131072     		x = 0.62921142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14569 ÷ 217
    14569 ÷ 131072     		y = 0.111152648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2584228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81185933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111152648925781 × 2 - 1) × π
    0.777694702148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4431999629354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81185933} λ = 0.81185933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4431999629354))-π/2
    2×atan(11.509812851242)-π/2
    2×1.48413156821552-π/2
    2.96826313643104-1.57079632675     		φ = 1.39746681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81185933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39746681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.068950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82472 KachelY 14569 0.81185933 1.39746681 46.516113 80.068950
    Oben rechts KachelX + 1 82473 KachelY 14569 0.81190727 1.39746681 46.518860 80.068950
    Unten links KachelX 82472 KachelY + 1 14570 0.81185933 1.39745854 46.516113 80.068476
    Unten rechts KachelX + 1 82473 KachelY + 1 14570 0.81190727 1.39745854 46.518860 80.068476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39746681-1.39745854) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39746681-1.39745854) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81185933-0.81190727) × cos(1.39746681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172462926288234 × 6371000     		do = 52.6746168841147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81185933-0.81190727) × cos(1.39745854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172471072364735 × 6371000     		du = 52.6771049055582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39746681)-sin(1.39745854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172462926288234-0.172471072364735)×R²
    abs(0.81190727-0.81185933)×8.14607650134747e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.14607650134747e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.14607650134747e-06×40589641000000     		ar = 2775.39471374215m²