Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82471 / 19175
↖ ↑ ↗
← N 77.632424°
E 46.513367°		 ← 65.40 m → N 77.632424°
E 46.516113°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.631836°
E 46.513367°		 ← 65.41 m →
4 279 m²		 N 77.631836°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629207611083984 y=0.146297454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629207611083984 × 217)
    floor (0.629207611083984 × 131072)
    floor (82471.5)     		tx = 82471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146297454833984 × 217)
    floor (0.146297454833984 × 131072)
    floor (19175.5)     		ty = 19175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82471 / 19175 ti = "17/82471/19175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82471/19175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82471 ÷ 217
    82471 ÷ 131072     		x = 0.629203796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19175 ÷ 217
    19175 ÷ 131072     		y = 0.146293640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629203796386719 × 2 - 1) × π
    0.258407592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81181140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146293640136719 × 2 - 1) × π
    0.707412719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.22240260328542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81181140} λ = 0.81181140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22240260328542))-π/2
    2×atan(9.22947902523662)-π/2
    2×1.46286886956157-π/2
    2.92573773912313-1.57079632675     		φ = 1.35494141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81181140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.513367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35494141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.632424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82471 KachelY 19175 0.81181140 1.35494141 46.513367 77.632424
    Oben rechts KachelX + 1 82472 KachelY 19175 0.81185933 1.35494141 46.516113 77.632424
    Unten links KachelX 82471 KachelY + 1 19176 0.81181140 1.35493114 46.513367 77.631836
    Unten rechts KachelX + 1 82472 KachelY + 1 19176 0.81185933 1.35493114 46.516113 77.631836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35494141-1.35493114) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35494141-1.35493114) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81181140-0.81185933) × cos(1.35494141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214182583760694 × 6371000     		do = 65.4032285678506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81181140-0.81185933) × cos(1.35493114) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.214192615420111 × 6371000     		du = 65.4062918557345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35494141)-sin(1.35493114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214182583760694-0.214192615420111)×R²
    abs(0.81185933-0.81181140)×1.00316594171812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.00316594171812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.00316594171812e-05×40589641000000     		ar = 4279.44457954159m²