Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82471 / 14697
↖ ↑ ↗
← N 80.008135°
E 46.513367°		 ← 52.98 m → N 80.008135°
E 46.516113°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.007659°
E 46.513367°		 ← 52.99 m →
2 809 m²		 N 80.007659°
E 46.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629207611083984 y=0.112133026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629207611083984 × 217)
    floor (0.629207611083984 × 131072)
    floor (82471.5)     		tx = 82471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112133026123047 × 217)
    floor (0.112133026123047 × 131072)
    floor (14697.5)     		ty = 14697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82471 / 14697 ti = "17/82471/14697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82471/14697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82471 ÷ 217
    82471 ÷ 131072     		x = 0.629203796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14697 ÷ 217
    14697 ÷ 131072     		y = 0.112129211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629203796386719 × 2 - 1) × π
    0.258407592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.81181140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112129211425781 × 2 - 1) × π
    0.775741577148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.43706403978403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81181140} λ = 0.81181140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43706403978403))-π/2
    2×atan(11.4394057512771)-π/2
    2×1.48360085649191-π/2
    2.96720171298381-1.57079632675     		φ = 1.39640539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81181140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.513367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39640539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.008135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82471 KachelY 14697 0.81181140 1.39640539 46.513367 80.008135
    Oben rechts KachelX + 1 82472 KachelY 14697 0.81185933 1.39640539 46.516113 80.008135
    Unten links KachelX 82471 KachelY + 1 14698 0.81181140 1.39639707 46.513367 80.007659
    Unten rechts KachelX + 1 82472 KachelY + 1 14698 0.81185933 1.39639707 46.516113 80.007659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39640539-1.39639707) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39640539-1.39639707) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81181140-0.81185933) × cos(1.39640539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17350834463534 × 6371000     		do = 52.9828603398195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81181140-0.81185933) × cos(1.39639707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173516538434895 × 6371000     		du = 52.9853624150851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39640539)-sin(1.39639707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17350834463534-0.173516538434895)×R²
    abs(0.81185933-0.81181140)×8.19379955527277e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.19379955527277e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.19379955527277e-06×40589641000000     		ar = 2808.51395632546m²