Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82470 / 19174
↖ ↑ ↗
← N 77.633013°
E 46.510620°		 ← 65.41 m → N 77.633013°
E 46.513367°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.632424°
E 46.510620°		 ← 65.42 m →
4 280 m²		 N 77.632424°
E 46.513367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629199981689453 y=0.146289825439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629199981689453 × 217)
    floor (0.629199981689453 × 131072)
    floor (82470.5)     		tx = 82470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146289825439453 × 217)
    floor (0.146289825439453 × 131072)
    floor (19174.5)     		ty = 19174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82470 / 19174 ti = "17/82470/19174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82470/19174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82470 ÷ 217
    82470 ÷ 131072     		x = 0.629196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19174 ÷ 217
    19174 ÷ 131072     		y = 0.146286010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629196166992188 × 2 - 1) × π
    0.258392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81176346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146286010742188 × 2 - 1) × π
    0.707427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22245054018504
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81176346} λ = 0.81176346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22245054018504))-π/2
    2×atan(9.22992146845079)-π/2
    2×1.46287400306583-π/2
    2.92574800613167-1.57079632675     		φ = 1.35495168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81176346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.510620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35495168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.633013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82470 KachelY 19174 0.81176346 1.35495168 46.510620 77.633013
    Oben rechts KachelX + 1 82471 KachelY 19174 0.81181140 1.35495168 46.513367 77.633013
    Unten links KachelX 82470 KachelY + 1 19175 0.81176346 1.35494141 46.510620 77.632424
    Unten rechts KachelX + 1 82471 KachelY + 1 19175 0.81181140 1.35494141 46.513367 77.632424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35495168-1.35494141) × R
    1.0270000000201e-05 × 6371000     		dl = 65.4301700012803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35495168-1.35494141) × R
    1.0270000000201e-05 × 6371000     		dr = 65.4301700012803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81176346-0.81181140) × cos(1.35495168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214172552078686 × 6371000     		do = 65.4138102062784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81176346-0.81181140) × cos(1.35494141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214182583760694 × 6371000     		du = 65.4168741401791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35495168)-sin(1.35494141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214172552078686-0.214182583760694)×R²
    abs(0.81181140-0.81176346)×1.00316820078605e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00316820078605e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00316820078605e-05×40589641000000     		ar = 4280.13695908358m²