Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82470 / 14508
↖ ↑ ↗
← N 80.097803°
E 46.510620°		 ← 52.52 m → N 80.097803°
E 46.513367°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.097331°
E 46.510620°		 ← 52.53 m →
2 757 m²		 N 80.097331°
E 46.513367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629199981689453 y=0.110691070556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629199981689453 × 217)
    floor (0.629199981689453 × 131072)
    floor (82470.5)     		tx = 82470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110691070556641 × 217)
    floor (0.110691070556641 × 131072)
    floor (14508.5)     		ty = 14508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82470 / 14508 ti = "17/82470/14508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82470/14508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82470 ÷ 217
    82470 ÷ 131072     		x = 0.629196166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14508 ÷ 217
    14508 ÷ 131072     		y = 0.110687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629196166992188 × 2 - 1) × π
    0.258392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81176346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110687255859375 × 2 - 1) × π
    0.77862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44612411381223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81176346} λ = 0.81176346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44612411381223))-π/2
    2×atan(11.5435185368209)-π/2
    2×1.48438335921859-π/2
    2.96876671843718-1.57079632675     		φ = 1.39797039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81176346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.510620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39797039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.097803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82470 KachelY 14508 0.81176346 1.39797039 46.510620 80.097803
    Oben rechts KachelX + 1 82471 KachelY 14508 0.81181140 1.39797039 46.513367 80.097803
    Unten links KachelX 82470 KachelY + 1 14509 0.81176346 1.39796215 46.510620 80.097331
    Unten rechts KachelX + 1 82471 KachelY + 1 14509 0.81181140 1.39796215 46.513367 80.097331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39797039-1.39796215) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dl = 52.4970400006608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39797039-1.39796215) × R
    8.24000000010372e-06 × 6371000     		dr = 52.4970400006608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81176346-0.81181140) × cos(1.39797039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171966870079434 × 6371000     		do = 52.5231085494606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81176346-0.81181140) × cos(1.39796215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17197498732012 × 6371000     		du = 52.5255877637039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39797039)-sin(1.39796215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171966870079434-0.17197498732012)×R²
    abs(0.81181140-0.81176346)×8.11724068616737e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.11724068616737e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.11724068616737e-06×40589641000000     		ar = 2757.37280624266m²