Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82469 / 14699
↖ ↑ ↗
← N 80.007182°
E 46.507873°		 ← 53 m → N 80.007182°
E 46.510620°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.006705°
E 46.507873°		 ← 53 m →
2 809 m²		 N 80.006705°
E 46.510620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629192352294922 y=0.112148284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629192352294922 × 217)
    floor (0.629192352294922 × 131072)
    floor (82469.5)     		tx = 82469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112148284912109 × 217)
    floor (0.112148284912109 × 131072)
    floor (14699.5)     		ty = 14699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82469 / 14699 ti = "17/82469/14699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82469/14699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82469 ÷ 217
    82469 ÷ 131072     		x = 0.629188537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14699 ÷ 217
    14699 ÷ 131072     		y = 0.112144470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629188537597656 × 2 - 1) × π
    0.258377075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81171552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112144470214844 × 2 - 1) × π
    0.775711059570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43696816598479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81171552} λ = 0.81171552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43696816598479))-π/2
    2×atan(11.4383090645592)-π/2
    2×1.48359253864695-π/2
    2.9671850772939-1.57079632675     		φ = 1.39638875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81171552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.507873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39638875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.007182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82469 KachelY 14699 0.81171552 1.39638875 46.507873 80.007182
    Oben rechts KachelX + 1 82470 KachelY 14699 0.81176346 1.39638875 46.510620 80.007182
    Unten links KachelX 82469 KachelY + 1 14700 0.81171552 1.39638043 46.507873 80.006705
    Unten rechts KachelX + 1 82470 KachelY + 1 14700 0.81176346 1.39638043 46.510620 80.006705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39638875-1.39638043) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39638875-1.39638043) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81171552-0.81176346) × cos(1.39638875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173524732222439 × 6371000     		do = 52.9989197473055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81171552-0.81176346) × cos(1.39638043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173532925997971 × 6371000     		du = 53.0014223372609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39638875)-sin(1.39638043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173524732222439-0.173532925997971)×R²
    abs(0.81176346-0.81171552)×8.19377553221146e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19377553221146e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19377553221146e-06×40589641000000     		ar = 2809.36522643878m²