Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82468 / 20084
↖ ↑ ↗
← N 77.086152°
E 46.505127°		 ← 68.26 m → N 77.086152°
E 46.507873°		 →
↑
68.30 m
↓
↑
68.30 m
↓
N 77.085538°
E 46.505127°		 ← 68.26 m →
4 662 m²		 N 77.085538°
E 46.507873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629184722900391 y=0.153232574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629184722900391 × 217)
    floor (0.629184722900391 × 131072)
    floor (82468.5)     		tx = 82468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153232574462891 × 217)
    floor (0.153232574462891 × 131072)
    floor (20084.5)     		ty = 20084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82468 / 20084 ti = "17/82468/20084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82468/20084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82468 ÷ 217
    82468 ÷ 131072     		x = 0.629180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20084 ÷ 217
    20084 ÷ 131072     		y = 0.153228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629180908203125 × 2 - 1) × π
    0.25836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81166758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153228759765625 × 2 - 1) × π
    0.69354248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17882796153079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81166758} λ = 0.81166758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17882796153079))-π/2
    2×atan(8.83594412107343)-π/2
    2×1.45810174189655-π/2
    2.91620348379311-1.57079632675     		φ = 1.34540716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81166758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34540716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.086152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82468 KachelY 20084 0.81166758 1.34540716 46.505127 77.086152
    Oben rechts KachelX + 1 82469 KachelY 20084 0.81171552 1.34540716 46.507873 77.086152
    Unten links KachelX 82468 KachelY + 1 20085 0.81166758 1.34539644 46.505127 77.085538
    Unten rechts KachelX + 1 82469 KachelY + 1 20085 0.81171552 1.34539644 46.507873 77.085538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34540716-1.34539644) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dl = 68.2971199994176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34540716-1.34539644) × R
    1.07199999999086e-05 × 6371000     		dr = 68.2971199994176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81166758-0.81171552) × cos(1.34540716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223485702725684 × 6371000     		do = 68.2582861343674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81166758-0.81171552) × cos(1.34539644) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223496151574109 × 6371000     		du = 68.2614774816296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34540716)-sin(1.34539644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223485702725684-0.223496151574109)×R²
    abs(0.81171552-0.81166758)×1.04488484245768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04488484245768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04488484245768e-05×40589641000000     		ar = 4661.95333910561m²