Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82466 / 20127
↖ ↑ ↗
← N 77.059731°
E 46.499634°		 ← 68.40 m → N 77.059731°
E 46.502381°		 →
↑
68.42 m
↓
↑
68.42 m
↓
N 77.059116°
E 46.499634°		 ← 68.40 m →
4 680 m²		 N 77.059116°
E 46.502381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629169464111328 y=0.153560638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629169464111328 × 217)
    floor (0.629169464111328 × 131072)
    floor (82466.5)     		tx = 82466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153560638427734 × 217)
    floor (0.153560638427734 × 131072)
    floor (20127.5)     		ty = 20127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82466 / 20127 ti = "17/82466/20127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82466/20127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82466 ÷ 217
    82466 ÷ 131072     		x = 0.629165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20127 ÷ 217
    20127 ÷ 131072     		y = 0.153556823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629165649414062 × 2 - 1) × π
    0.258331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81157171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153556823730469 × 2 - 1) × π
    0.692886352539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17676667484713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81157171} λ = 0.81157171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17676667484713))-π/2
    2×atan(8.8177494657617)-π/2
    2×1.45787117630721-π/2
    2.91574235261442-1.57079632675     		φ = 1.34494603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81157171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34494603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82466 KachelY 20127 0.81157171 1.34494603 46.499634 77.059731
    Oben rechts KachelX + 1 82467 KachelY 20127 0.81161965 1.34494603 46.502381 77.059731
    Unten links KachelX 82466 KachelY + 1 20128 0.81157171 1.34493529 46.499634 77.059116
    Unten rechts KachelX + 1 82467 KachelY + 1 20128 0.81161965 1.34493529 46.502381 77.059116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34494603-1.34493529) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dl = 68.4245400000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34494603-1.34493529) × R
    1.07400000000091e-05 × 6371000     		dr = 68.4245400000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.34494603) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223935145683329 × 6371000     		do = 68.3955575824521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.34493529) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22394561291789 × 6371000     		du = 68.3987545453136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34494603)-sin(1.34493529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223935145683329-0.22394561291789)×R²
    abs(0.81161965-0.81157171)×1.0467234560968e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0467234560968e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0467234560968e-05×40589641000000     		ar = 4680.04394110678m²