Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82466 / 18976
↖ ↑ ↗
← N 77.748946°
E 46.499634°		 ← 64.81 m → N 77.748946°
E 46.502381°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.748363°
E 46.499634°		 ← 64.81 m →
4 199 m²		 N 77.748363°
E 46.502381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629169464111328 y=0.144779205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629169464111328 × 217)
    floor (0.629169464111328 × 131072)
    floor (82466.5)     		tx = 82466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144779205322266 × 217)
    floor (0.144779205322266 × 131072)
    floor (18976.5)     		ty = 18976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82466 / 18976 ti = "17/82466/18976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82466/18976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82466 ÷ 217
    82466 ÷ 131072     		x = 0.629165649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18976 ÷ 217
    18976 ÷ 131072     		y = 0.144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629165649414062 × 2 - 1) × π
    0.258331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81157171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144775390625 × 2 - 1) × π
    0.71044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23194204630981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81157171} λ = 0.81157171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23194204630981))-π/2
    2×atan(9.31794439886981)-π/2
    2×1.4638857152465-π/2
    2.927771430493-1.57079632675     		φ = 1.35697510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81157171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.499634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35697510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.748946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82466 KachelY 18976 0.81157171 1.35697510 46.499634 77.748946
    Oben rechts KachelX + 1 82467 KachelY 18976 0.81161965 1.35697510 46.502381 77.748946
    Unten links KachelX 82466 KachelY + 1 18977 0.81157171 1.35696493 46.499634 77.748363
    Unten rechts KachelX + 1 82467 KachelY + 1 18977 0.81161965 1.35696493 46.502381 77.748363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35697510-1.35696493) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dl = 64.7930700009083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35697510-1.35696493) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dr = 64.7930700009083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.35697510) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212195646748196 × 6371000     		do = 64.8100124329538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81157171-0.81161965) × cos(1.35696493) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.212205585137883 × 6371000     		du = 64.8130478729784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35697510)-sin(1.35696493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212195646748196-0.212205585137883)×R²
    abs(0.81161965-0.81157171)×9.93838968724181e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.93838968724181e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.93838968724181e-06×40589641000000     		ar = 4199.33801025897m²