Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82465 / 20126
↖ ↑ ↗
← N 77.060346°
E 46.496887°		 ← 68.39 m → N 77.060346°
E 46.499634°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.059731°
E 46.496887°		 ← 68.40 m →
4 675 m²		 N 77.059731°
E 46.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629161834716797 y=0.153553009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629161834716797 × 217)
    floor (0.629161834716797 × 131072)
    floor (82465.5)     		tx = 82465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153553009033203 × 217)
    floor (0.153553009033203 × 131072)
    floor (20126.5)     		ty = 20126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82465 / 20126 ti = "17/82465/20126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82465/20126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82465 ÷ 217
    82465 ÷ 131072     		x = 0.629158020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20126 ÷ 217
    20126 ÷ 131072     		y = 0.153549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629158020019531 × 2 - 1) × π
    0.258316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81152377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153549194335938 × 2 - 1) × π
    0.692901611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17681461174675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81152377} λ = 0.81152377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17681461174675))-π/2
    2×atan(8.81817217146424)-π/2
    2×1.45787654356023-π/2
    2.91575308712046-1.57079632675     		φ = 1.34495676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81152377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.496887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34495676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.060346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82465 KachelY 20126 0.81152377 1.34495676 46.496887 77.060346
    Oben rechts KachelX + 1 82466 KachelY 20126 0.81157171 1.34495676 46.499634 77.060346
    Unten links KachelX 82465 KachelY + 1 20127 0.81152377 1.34494603 46.496887 77.059731
    Unten rechts KachelX + 1 82466 KachelY + 1 20127 0.81157171 1.34494603 46.499634 77.059731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34495676-1.34494603) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dl = 68.360830000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34495676-1.34494603) × R
    1.07300000000699e-05 × 6371000     		dr = 68.360830000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.34495676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223924688169002 × 6371000     		do = 68.3923635882418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.34494603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223935145683329 × 6371000     		du = 68.3955575822937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34495676)-sin(1.34494603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223924688169002-0.223935145683329)×R²
    abs(0.81157171-0.81152377)×1.04575143268781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04575143268781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04575143268781e-05×40589641000000     		ar = 4675.46791248011m²