Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82465 / 15863
↖ ↑ ↗
← N 79.436903°
E 46.496887°		 ← 55.99 m → N 79.436903°
E 46.499634°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.436400°
E 46.496887°		 ← 55.99 m →
3 136 m²		 N 79.436400°
E 46.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629161834716797 y=0.121028900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629161834716797 × 217)
    floor (0.629161834716797 × 131072)
    floor (82465.5)     		tx = 82465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121028900146484 × 217)
    floor (0.121028900146484 × 131072)
    floor (15863.5)     		ty = 15863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82465 / 15863 ti = "17/82465/15863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82465/15863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82465 ÷ 217
    82465 ÷ 131072     		x = 0.629158020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15863 ÷ 217
    15863 ÷ 131072     		y = 0.121025085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629158020019531 × 2 - 1) × π
    0.258316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81152377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121025085449219 × 2 - 1) × π
    0.757949829101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38116961482705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81152377} λ = 0.81152377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38116961482705))-π/2
    2×atan(10.8175478319553)-π/2
    2×1.47861591766644-π/2
    2.95723183533288-1.57079632675     		φ = 1.38643551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81152377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.496887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38643551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.436903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82465 KachelY 15863 0.81152377 1.38643551 46.496887 79.436903
    Oben rechts KachelX + 1 82466 KachelY 15863 0.81157171 1.38643551 46.499634 79.436903
    Unten links KachelX 82465 KachelY + 1 15864 0.81152377 1.38642672 46.496887 79.436400
    Unten rechts KachelX + 1 82466 KachelY + 1 15864 0.81157171 1.38642672 46.499634 79.436400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38643551-1.38642672) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38643551-1.38642672) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.38643551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18331821965158 × 6371000     		do = 55.9901028925295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.38642672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183326860685865 × 6371000     		du = 55.9927420868204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38643551)-sin(1.38642672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18331821965158-0.183326860685865)×R²
    abs(0.81157171-0.81152377)×8.64103428499519e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.64103428499519e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.64103428499519e-06×40589641000000     		ar = 3135.58069012511m²