Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82465 / 14497
↖ ↑ ↗
← N 80.102998°
E 46.496887°		 ← 52.50 m → N 80.102998°
E 46.499634°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.102526°
E 46.496887°		 ← 52.50 m →
2 756 m²		 N 80.102526°
E 46.499634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629161834716797 y=0.110607147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629161834716797 × 217)
    floor (0.629161834716797 × 131072)
    floor (82465.5)     		tx = 82465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110607147216797 × 217)
    floor (0.110607147216797 × 131072)
    floor (14497.5)     		ty = 14497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82465 / 14497 ti = "17/82465/14497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82465/14497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82465 ÷ 217
    82465 ÷ 131072     		x = 0.629158020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14497 ÷ 217
    14497 ÷ 131072     		y = 0.110603332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629158020019531 × 2 - 1) × π
    0.258316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81152377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110603332519531 × 2 - 1) × π
    0.778793334960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.44665141970805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81152377} λ = 0.81152377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44665141970805))-π/2
    2×atan(11.5496071073324)-π/2
    2×1.48442868701655-π/2
    2.9688573740331-1.57079632675     		φ = 1.39806105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81152377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.496887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39806105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.102998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82465 KachelY 14497 0.81152377 1.39806105 46.496887 80.102998
    Oben rechts KachelX + 1 82466 KachelY 14497 0.81157171 1.39806105 46.499634 80.102998
    Unten links KachelX 82465 KachelY + 1 14498 0.81152377 1.39805281 46.496887 80.102526
    Unten rechts KachelX + 1 82466 KachelY + 1 14498 0.81157171 1.39805281 46.499634 80.102526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39806105-1.39805281) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dl = 52.4970399992462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39806105-1.39805281) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dr = 52.4970399992462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.39806105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171877559959017 × 6371000     		do = 52.4958309398428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81152377-0.81157171) × cos(1.39805281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171885677328139 × 6371000     		du = 52.4983101933136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39806105)-sin(1.39805281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171877559959017-0.171885677328139)×R²
    abs(0.81157171-0.81152377)×8.11736912148531e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.11736912148531e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.11736912148531e-06×40589641000000     		ar = 2755.94081346726m²