Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82464 / 18974
↖ ↑ ↗
← N 77.750112°
E 46.494141°		 ← 64.79 m → N 77.750112°
E 46.496887°		 →
↑
64.79 m
↓
↑
64.79 m
↓
N 77.749529°
E 46.494141°		 ← 64.79 m →
4 198 m²		 N 77.749529°
E 46.496887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629154205322266 y=0.144763946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629154205322266 × 217)
    floor (0.629154205322266 × 131072)
    floor (82464.5)     		tx = 82464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144763946533203 × 217)
    floor (0.144763946533203 × 131072)
    floor (18974.5)     		ty = 18974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82464 / 18974 ti = "17/82464/18974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82464/18974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82464 ÷ 217
    82464 ÷ 131072     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18974 ÷ 217
    18974 ÷ 131072     		y = 0.144760131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144760131835938 × 2 - 1) × π
    0.710479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23203792010905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23203792010905))-π/2
    2×atan(9.31883778842608)-π/2
    2×1.46389588677125-π/2
    2.9277917735425-1.57079632675     		φ = 1.35699545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35699545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.750112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82464 KachelY 18974 0.81147584 1.35699545 46.494141 77.750112
    Oben rechts KachelX + 1 82465 KachelY 18974 0.81152377 1.35699545 46.496887 77.750112
    Unten links KachelX 82464 KachelY + 1 18975 0.81147584 1.35698528 46.494141 77.749529
    Unten rechts KachelX + 1 82465 KachelY + 1 18975 0.81152377 1.35698528 46.496887 77.749529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35699545-1.35698528) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dl = 64.7930700009083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35699545-1.35698528) × R
    1.01700000001426e-05 × 6371000     		dr = 64.7930700009083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81152377) × cos(1.35699545) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212175760130666 × 6371000     		do = 64.7904208303328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81152377) × cos(1.35698528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.212185698564268 × 6371000     		du = 64.7934556505926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35699545)-sin(1.35698528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212175760130666-0.212185698564268)×R²
    abs(0.81152377-0.81147584)×9.93843360211355e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.93843360211355e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.93843360211355e-06×40589641000000     		ar = 4198.06858991016m²