Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82463 / 19166
↖ ↑ ↗
← N 77.637718°
E 46.491394°		 ← 65.39 m → N 77.637718°
E 46.494141°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.637129°
E 46.491394°		 ← 65.39 m →
4 279 m²		 N 77.637129°
E 46.494141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.629146575927734 y=0.146228790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.629146575927734 × 217)
    floor (0.629146575927734 × 131072)
    floor (82463.5)     		tx = 82463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146228790283203 × 217)
    floor (0.146228790283203 × 131072)
    floor (19166.5)     		ty = 19166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82463 / 19166 ti = "17/82463/19166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82463/19166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82463 ÷ 217
    82463 ÷ 131072     		x = 0.629142761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19166 ÷ 217
    19166 ÷ 131072     		y = 0.146224975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629142761230469 × 2 - 1) × π
    0.258285522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.81142790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146224975585938 × 2 - 1) × π
    0.707550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.222834035382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81142790} λ = 0.81142790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.222834035382))-π/2
    2×atan(9.2334617778047)-π/2
    2×1.4629150624476-π/2
    2.9258301248952-1.57079632675     		φ = 1.35503380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81142790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.491394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35503380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.637718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82463 KachelY 19166 0.81142790 1.35503380 46.491394 77.637718
    Oben rechts KachelX + 1 82464 KachelY 19166 0.81147584 1.35503380 46.494141 77.637718
    Unten links KachelX 82463 KachelY + 1 19167 0.81142790 1.35502353 46.491394 77.637129
    Unten rechts KachelX + 1 82464 KachelY + 1 19167 0.81147584 1.35502353 46.494141 77.637129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35503380-1.35502353) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35503380-1.35502353) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81142790-0.81147584) × cos(1.35503380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214092336882033 × 6371000     		do = 65.3893104204813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81142790-0.81147584) × cos(1.35502353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214102368744638 × 6371000     		du = 65.3923744095411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35503380)-sin(1.35502353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214092336882033-0.214102368744638)×R²
    abs(0.81147584-0.81142790)×1.00318626052587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00318626052587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00318626052587e-05×40589641000000     		ar = 4278.53393575837m²